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1、第七章 无穷级数,1、常数项级数概念、性质及其收敛法； 2、幂级数的概念及其收敛性； 3、函数展开成幂级数及其幂级数展开式的应用；,1、理解常数项级数收敛、发散及和等概念；熟悉级数收敛的必要条件，了解常数项级数的性质，熟悉几何级数和P-级数的收敛性； 2、掌握正项级数收敛的充要条件及其收敛准则（比较收敛法、比值收敛法和根值收敛法）； 3、掌握交错级数的莱布尼兹收敛法，熟悉绝对收敛和条件收敛及一般项级数的收敛准则； 4、熟悉函数项级数的收敛域、和函数等概念；,基本要求：,5、掌握幂级数的概念及阿贝尔收敛定理，熟悉幂级数的收敛域和收敛半径的求法，了解幂级数的运算性质（包含分析运算性质）； 6、掌握
2、泰勒定理，掌握将函数展开为泰勒级数（麦克劳林级数）的方法； 7、熟悉函数 为实数）的麦克劳林展开式；,基本要求：（续）,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,7.1 常数项级数的概念与性质,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,对于无穷级数我们关心的是级数是否收敛, 即:和是否存在(Sn的极限是否存)?,判断级数敛散的步骤,由图可知,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,注意：,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,故: 级数发散。,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要非充分条件.,发散.,讨论,
