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1、函数的单调性,在2003年抗击非典型性肺炎时,卫生部门对疫情进行了通报.下图是北京市从4月21日至5月19日期间每日新增病例的变化统计图.,5月13日以后,形势在逐步好转.,实例分析,从初中学过的函数y=x2的图象看到： (1)图象在y轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x在区间0，+)上取值时，随着x的增大,相应的y值也随着增大.,(2)图象在y轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x在区间(-,0上取值时，随着x的增大,相应的y值反而随着下降.,怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数x1,x2A, 当x1x2时, 都有f(x1)f(
2、x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的.,归纳概括,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数x1,x2A, 当x1f(x2), 那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的.,怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?,归纳概括,如果y=f(x)在区间A上是增加或是减少的，那么称A为单调区间,在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),称函数y=f(x)在区间A上是增加的.,在函数y=f(x)的定义域内的
3、一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2A,当x1f(x2),称函数y=f(x)在区间A上是减少的.,单调函数,如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或减少的,称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.,如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性.,例1 说出函数 的单调区间,并指明在该区间上的单调性.,解 (-,0)和(0,+)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数 减少.,例题讲解,函数 是减函数吗?,不是,当x1=-1,x2=1时，有f(x1)f(x2),例2 画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以证
4、明.,解 作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.,证明: 任取x1,x2R,且x1x2,则 x1-x20 所以 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)0, 即 f(x1)f(x2) 由单调函数的定义可知,函数f(x)=3x+2是R上的增函数.,例题讲解,函数的单调性证明方法,练习,判断下列函数在给定集合或区间上的单调性: (1)y=-5x,x2,7; (2)f(x)=3x2-6x+1,x(3,4);,t1,2,3,4,5,6,7,8;,递减,递增,递减,(3),(4)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点、水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系,那么水流喷出的高度h(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为:,练习,0,1递增的,递减的,补充练习,1.求下列函数的单调区间,补充练习,2.证明 在定义域上是减函数.,证,小结,函数单调性,增函数,减函数,单调函数,函数增减性的证明,在y=f(x)的定义域内的一个区间A上，对任意两数x1,x2A,当x1x2时，都有f(x1)f(x2),y=f(x)在区间A上是增加的.,在y=f(x)的定义域内的一个区间A上，对任意两数x1,x2A,当x1f(x2),y=f(x)在区间A上是减少的.,
