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1、高 等 数 学 (上),期中复习,基本概念,基本定理,基本方法,1.概念罗列 函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇、偶函数,单调(增、减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数; 极限,左右极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小的阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义),间断,间断点分类,导数,高阶导数,相关变化率,微分(线性主部). 极值,驻点,最值(极值与最值区别);,7种自变量变化的精准定义,(1)自变量n,(2)自变量xx0,(3)自变量xx0+0,(4)自变量xx0-0,(6)自变量x+
2、,(5)自变量x ,(7)自变量x-,5种函数的变化,5种函数变化的精准定义,(1)函数f(x)A,(2) 无穷小,(3) f(x)无穷大,(4) f(x)正无穷大,(5) f(x)负无穷大,极限的7个定义及无穷大与无穷小的相应定义 组合的例子：,设 f (x) 在 | x | 充分大时有定义. 如果,对于 X 0 ,当 | x | X 时,恒有,设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有,或,设 在 的某一去心邻域内有定义. 如果对于 当 时， 有,或,1.用倒推法导出希望的条件(不是结果或事实) ； 证极限是从 出发导出N(或或X) 。 技巧是放大。 证是从 出发导出N(或或
3、X) 。技 巧是縮小。 2.套定义复述。即：,用定义证极限(或)的步骤：,当 时,有,(共35个可能),例,设,，用定义证明:,; 2、,。,1、,3.基本定理 极限及无穷小的性质,无穷小与极限的关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体. 极限的四则运算与复合运算性质(参与的变量极限一定要存在); 连续函数经+,-,*,/与复合运算后仍连续; 闭区间上连续函数的(两类)性质:有界,介值. 可导必连续,连续不一定可导. 左右极限,左右连续,左右导数. 可导充要条件是可微.dy=ydx. 4个微分中值定理.,4.极限的求法: 若函数连续: ,初等函数在定义区间内连续. 四则运算,有理函数在
4、的计算公式, 去0 因子,及有理化; 变量代换, 有界与无穷小之积是无穷小. 无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系. 两准则; 两极限; 等价无穷小替换(注:只用于乘除, 加减不能用) 洛必达法则,5.导数的求法 定义(导数是切线斜率)多用于抽象函数或分段函数在固定点. 初等函数求导,基本初等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式; 隐函数求导方法, 对数求导法, 参数方程求导公式, 高阶导数公式.,隐函数求导要点:方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y, 最后解出y. 对数求导注意点:要充分地使用对数性质,将对数性质
5、发挥至极致.适用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积. 参数方程求导注意点: y,y是t的函数,对t求导后一定要及时除以xt.,（3）莱布尼茨（Leibniz）公式,高阶导数公式,求高阶导数的方法小结,抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶) 导数,多用定义求得. 具体函数的低阶导数要由一阶导数,二阶导数, 依序算出. 简单函数类的高阶导数求至3,4阶后,尽量把它们 变换成同一形式,用不完全归纳法得一般规律.或套 公式(1)做.简单函数类指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等 和中间变量为线性的函数复合而成. 不太复杂函数的高阶导数,先化成简单函数类的线 性组合,而后用
6、高阶导数的线性运算法则即公式(2)做. 尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数,用 Leibniz公式.,6.微分中值定理,条件: 满足：,（1）在闭区间 a ,b 上连续；,（2）在开区间 (a ,b) 内可导；,（3）,结论:,在开区间(a ,b) 内至少有一点 ，使,微分中值定理的特点,罗尔中值定理适用于有关方程的根(牵涉到一个函数); 拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量; 拉格朗日中值定理的推论(导数为零的函数是常数)适用于恒等式; 柯西中值定理适用于方程的根(牵涉到两个函数); 泰勒中值定理涉及函数的高阶导数.,例 设 f (x) 在 0 , 1 上连续 , ( 0 , 1 ) 内可导 . f (0) = 1 , f (1) = 0 .证明 : 至少存在一点 ( 0 , 1 ) , 使得,此类：辅助函数 F(x) = x f (x),例 设 f (x) 可导,证明 f ( x ) 的任意两个零点之 间一定有 的 零点.,此类：辅助函数 F(x) = ekx f (x),7.洛必达法则(24个) 使用说明: (1)可反复使用,但每次使用前,必须检查是否 型或 型; (2)若有可约去因子,或有非零的极限因子, 要先行约去或提出.有时,也要与无穷小替换、 变量代换等方法联合使用(要简化和整理)， 目的是为了求导数简单; (3)条件是充分的而非必要的.,
