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1、矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力 线是闭合的。它有以下两个特点： （1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零； （2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场的线积分不为零这一问题。,五、矢量场的环量与旋度,（一）矢量场的环量,例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即： 上式建立了磁场与电流的关系。,引入环量概念。矢量场对于闭合曲线L的环量定义 为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为： （1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为无旋场，又称为保守
2、场。 （2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即：,根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标系中的表达式为:,利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理 环量积分旋度的面积分,（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理,方向相反 大小相等 结果抵消,旋度的计算公式 圆柱坐标系下旋度的计算公式： 圆柱坐标系下旋度
3、的计算公式： 球坐标系下的旋度计算公式,1.5 矢量场的旋度,（一）、无源场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即： 则称A为无源场。 性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。 性质二：无源场存在矢势。,六、无源场和无旋场,（二）、无旋场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即： 则称A为无旋场。 性质一：在无旋场中，A沿场域V的任何闭合路径L的环量为零。即： 性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。,（三）、调和场 散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。 根据其无旋性可得： 根据其无源性可得：,引入Laplacian算子,拉普拉斯方程
4、和泊松方程,若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程,对于矢量场必需考虑如下问题： （1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？ （3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？,六、Helmholtz定理,1 矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即： 其中 为无旋场， 为无源场。,Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即 任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无 源场，由旋涡源激发；并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：,证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。,正交坐标系下的梯度公式：,正交坐标系下的散度计算公式：,正交坐标系下的旋度计算公式：,
