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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 北北 京京 四四 中中 撰 稿：安东明 编 审：安东明 责 编：辛文升 本周重点：本周重点：圆锥曲线的定义及应用 本周难点：本周难点：圆锥曲线的综合应用 本周内容：本周内容： 一、圆锥曲线的定义一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫 做椭圆。即：P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨 迹叫做双曲线。即P|PF1|-|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离
2、与到定直线的距离的比 e 是常数的点的轨迹叫做圆 锥曲线。当 0e1 时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：+=1（ab0）或+=1（ab0）（其中，a2=b2+c2） 2.双曲线：-=1（a0, b0）或-=1（a0, b0）（其中，c2=a2+b2） 3.抛物线：y2= 2px（p0），x2= 2py（p0） 三、圆锥曲线的性质三、圆锥曲线的性质 1.椭圆：+=1（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b （2）顶点：( a,0)，(0, b) （3）焦点：( c,0) （4）离心率：e=(0,1) （5）准线：x= 2.双曲线：-=1（a0, b0） （1）范
3、围：|x|a, yR （2）顶点：( a,0) （3）焦点：( c,0) 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 （4）离心率：e=(1,+) （5）准线：x= （6）渐近线：y=x 3.抛物线：y2=2px(p0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=- 四、例题选讲：四、例题选讲： 例例 1.椭圆短轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆中心到准线的距离是_。 解解： 由题： 2b=2， b=1， a=2， c=， 则椭圆中心到准线的距离：=。 注意注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭
4、圆的 位置的影响。 例例 2.椭圆+=1 的离心率 e=，则 m=_。 解解：（1）椭圆的焦点在 x 轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=m=8。 （2）椭圆的焦点在 y 轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=m=2。 注意注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主 观丢掉一解。 例例 3.如图：椭圆+=1（ab0），F1为左焦点，A、B 是两个顶点，P 为椭圆上一点， 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 PF1x 轴，且 PO/AB，求椭圆的离心率 e。 解解：设椭圆的右焦点为 F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, PF1x 轴
5、， |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, |PF1|=。 PO/AB， PF1OBOA, = c=ba=c, e=。 又解， PF1x 轴， 设 P(-c, y)。 由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=, 由上解中 PF1OBOA，得到 b=ce=。 例例 4.已知 F1，F2为椭圆+=1 的焦点，P 为椭圆上一点，且F1PF2=，求 F1PF2 的面积。 分析分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关 系，我们选用面积公式 S=absinC。 解法解法一一：S=|
6、PF1| |PF2| sin |PF1|+|PF2|=2a=20， 4 36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos， 即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=4 36， |PF1| |PF2|= S=。 解法二解法二：S=|F1F2| |yP|= 12 yP=6|yP|， 由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP， 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP， 4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos， 144=100+=， =64
7、(1-)=64， S=6|yP|=6=。 注意：注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法 都试试。 例例 5.椭圆+=1 的焦点为 F1和 F2， 点 P 在椭圆上，若线段 PF1的中点在 y 轴上， 求： |PF1|，|PF2|。 分析分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求 解。 解解：如图，O 为 F1F2中点，PF1中点在 y 轴上，PF2/y 轴，PF2x 轴， 由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4， |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2， (|PF1|-|PF2|)(|PF1|
8、+|PF2|)=4 9=36， 。 例例 6.椭圆：+=1 内一点 A（2，2），F1，F2为焦点，P 为椭圆上一点，求|PA|+|PF1| 的最值。 解解： |PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|AF2|+10=2+10， |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)10-|AF2|=10-2。 注意注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 例例 7.已知：P 为双曲线-=1（a0, b0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。 求证：以 PF1
9、为直径的圆与以 A1，A2为直径的圆相切。 证证明明： 不妨设P在双曲线的右支上， 设PF1中点为O , A1A2 中点为 O， |OO |=|PF2|， 圆 O 半径为|A1A2|， 圆 O 半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2| |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO| 两个圆相内切。 注意：注意：可以自己证出 P 在左支时，两圆相外切。 例例 8.已知： 过抛物线y2=2px(p0)焦点F的直线与抛物线交于P， Q 两点。求证：以线段 PQ 为直径的圆与准线相切。 证明证明：由定义知，如图：|PP|=|PF|, |QQ|=|QF| |PQ|=|PP|+
10、|QQ|，|PQ|=(|PP|+|QQ|)， 故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 五、课后练习五、课后练习 1. 椭圆+=1 上一点 P 与椭圆两焦点连线互相垂直，则 PF1F2的面积为（ ） A、20 B、22 C、28 D、24 2. 若点 P(a,b)是双曲线 x2-y2=1 右支上一点，且 P 到渐近线距离为，则 a+b=( ) A、- B、 C、-2 D、2 3. 焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程是（ ） A、y2=16x 或 x2=16y B、y2=16x 或 x2=-16y C、x2=-12y 或 y2=16x D、x2=16y 或 y2=-12x 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 4. 已知：椭圆+=1（ab0）上两点 P、Q，O 为原点，OPOQ，求证：+ 为定值。 六、练习答案：六、练习答案： 1. D 2. B 3. C 4. 设 P(|OP|cos, |OP|sin), Q(|OQ|cos(+90), |OQ|sin(+90)， 利用两点距离公式及三角公式， +=。
