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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 全国卷数学导数真题整理 参考答案与试题解析 一解答题（共 14 小题） 1 （XXXX河北）已知函数 f（x）=x3+ax+ ，g（x）=lnx （i）当 a 为何值时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线； （ii）用 min m，n 表示 m，n 中的最小值，设函数 h（x）=min f（x） ，g（x）（x0） ， 讨论 h（x）零点的个数 【分析】 （i）f（x）=3x2+a设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0） ，则 f（x0）=0，f （x0）=0 解出即可 （ii）对 x 分类讨论：当 x（1，+）时，g（x）=lnx0，可得函数 h（
2、x）=min f（x） ， g（x）g（x）0，即可得出零点的个数 当 x=1 时，对 a 分类讨论：a ，a ，即可得出零点的个数； 当 x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可对 a 分类讨论：当 a3 或 a0 时，当3a0 时，利用导数研究其单调性极值即可得 出 【解答】解： （i）f（x）=3x2+a 设曲线 y=f（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0） ，则 f（x0）=0，f（x0）=0， ，解得，a= 因此当 a= 时，x 轴为曲线 y=f（x）的切线； （ii）当 x（1，+）时，g（x）=lnx0， 一 寸 光 阴 不 可 轻
3、2 函数 h（x）=min f（x） ，g（x）g（x）0， 故 h（x）在 x（1，+）时无零点 当 x=1 时，若 a ，则 f（1）=a+ 0， h（x）=min f（1） ，g（1）=g（1）=0，故 x=1 是函数 h（x）的一个零点； 若 a ，则 f（1）=a+ 0，h（x）=min f（1） ，g（1）=f（1）0，故 x=1 不是 函数 h（x）的零点； 当 x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑 f（x）在（0，1）内的零点个数即可 当 a3 或 a0 时，f（x）=3x2+a 在（0，1）内无零点，因此 f（x）在区间（0，1）内 单调， 而 f（0）= ，f（1
4、）=a+ ，当 a3 时，函数 f（x）在区间（0，1）内有一个零点， 当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内没有零点 当3a0 时，函数 f（x）在内单调递减，在内单调递 增，故当 x=时，f（x）取得最小值= 若0，即，则 f（x）在（0，1）内无零点 若=0，即 a= ，则 f（x）在（0，1）内有唯一零点 若0，即，由 f（0）= ，f（1）=a+ ， 当时，f（x）在（0，1）内有两个零点当3a时，f（x）在（0， 1）内有一个零点 综上可得：当或 a时，h（x）有一个零点； 当 a=或时，h（x）有两个零点； 当时，函数 h（x）有三个零点 一 寸 光 阴 不 可 轻 3
5、【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函 数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题 2 （XXXX新课标 II）设函数 f（x）=emx+x2mx （1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增； （2）若对于任意 x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求 m 的取值范围 【分析】 （1）利用 f（x）0 说明函数为增函数，利用 f（x）0 说明函数为减函数注意 参数 m 的讨论； （2）由（1）知，对任意的 m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立 问题转化为最大值和最小值问题从而
6、求得 m 的取值范围 【解答】解： （1）证明：f（x）=m（emx1）+2x 若 m0，则当 x（，0）时，emx10，f（x）0；当 x（0，+）时，emx10， f（x）0 若 m0，则当 x（，0）时，emx10，f（x）0；当 x（0，+）时，emx1 0，f（x）0 所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增 （2）由（1）知，对任意的 m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故 f（x） 在 x=0 处取得最小值 所以对于任意 x1，x21，1，|f（x1）f（x2）|e1 的充要条件是 即 设函数 g（t）=ette+1，则 g（t）=et1 一 寸 光
7、阴 不 可 轻 4 当 t0 时，g（t）0；当 t0 时，g（t）0故 g（t）在（，0）单调递减，在（0， +）单调递增 又 g（1）=0，g（1）=e 1 +2e0，故当 t1，1时，g（t）0 当 m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立； 当 m1 时，由 g（t）的单调性，g（m）0，即 emme1 当 m1 时，g（m）0，即 e m +me1 综上，m 的取值范围是1，1 【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用属于难题， 高考压轴题 3 （XXXX广西）函数 f（x）=ln（x+1）（a1） （）讨论 f（x）的单调性； （）设 a1=1，a
8、n+1=ln（an+1） ，证明：an 【分析】 （）求函数的导数，通过讨论 a 的取值范围，即可得到 f（x）的单调性； （）利用数学归纳法即可证明不等式 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（1，+） ，f（x）=， 当 1a2 时，若 x（1，a22a） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（1，a2 2a）上是增函数， 若 x（a22a，0） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（a22a，0）上是减函数， 若 x（0，+） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（0，+）上是增函数 当 a=2 时，f（x）0，此时函数 f（x）在（1，+）上是增函数， 当 a2 时，若 x
9、（1，0） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（1，0）上是增函数， 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 若 x（0，a22a） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（0，a22a）上是减函数， 若 x（a22a，+） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（a22a，+）上是增函数 （）由（）知，当 a=2 时，此时函数 f（x）在（1，+）上是增函数， 当 x（0，+）时，f（x）f（0）=0， 即 ln（x+1）， （x0） ， 又由（）知，当 a=3 时，f（x）在（0，3）上是减函数， 当 x（0，3）时，f（x）f（0）=0，ln（x+1）， 下面用数学归纳法进行证明an成立，
10、当 n=1 时，由已知 ，故结论成立 假设当 n=k 时结论成立，即， 则当 n=k+1 时，an+1=ln（an+1）ln（）， an+1=ln（an+1）ln（）， 即当 n=k+1 时，成立， 综上由可知，对任何 nN结论都成立 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综 合性较强，难度较大 4 （XXXX新课标 II）已知函数 f（x）=exe x 2x （）讨论 f（x）的单调性； （）设 g（x）=f（2x）4bf（x） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值； 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 （）已知 1.41421.4143，估计 l
11、n2 的近似值（精确到 0.001） 【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的； 对第（）问，先验证 g（0）=0，只需说明 g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转 化为“判断 g（x）0 是否成立”的问题； 对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻求 ln2，于是在 b=2 及 b2 的情况下分别计算，最后可估计 ln2 的近似值 【解答】解： （）由 f（x）得 f（x）=ex+e x 2， 即 f（x）0，当且仅当 ex=e x 即 x=0 时，f（x）=0， 函数 f（x）在 R 上为增函数 （）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（ex
12、e x ）+（8b4）x， 则 g（x）=2e2x+e2x2b（ex+e x ）+（4b2） =2（ex+e x ）22b（ex+e x ）+（4b4） =2（ex+e x 2） （ex+e x +22b） ex+e x 2，ex+e x +24， 当 2b4，即 b2 时，g（x）0，当且仅当 x=0 时取等号， 从而 g（x）在 R 上为增函数，而 g（0）=0， x0 时，g（x）0，符合题意 当 b2 时，若 x 满足 2ex+e x 2b2 即，得 ，此时，g（x）0， 又由 g（0）=0 知，当时，g（x）0，不符合题意 综合、知，b2，得 b 的最大值为 2 一 寸 光 阴 不
13、可 轻 7 （）1.41421.4143，根据（）中 g（x）=e2xe2x4b（exe x ）+（8b 4）x， 为了凑配 ln2，并利用的近似值，故将 ln即代入 g（x）的解析式中， 得 当 b=2 时，由 g（x）0，得， 从而； 令， 得2， 当 时， 由 g（x）0，得，得 所以 ln2 的近似值为 0.693 【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力， 对思维的要求较高，属压轴题 2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号 的判断，是解决本题的一个重要突破口 3本题的难点在于如何寻求 ln2，关键是根据第（2
14、）问中 g（x）的解析式探究 b 的值，从 而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的 5 （XXXX新课标 I）设函数 f（x）=aexlnx+，曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处得 切线方程为 y=e（x1）+2 （）求 a、b； （）证明：f（x）1 一 寸 光 阴 不 可 轻 8 【分析】 （）求出定义域，导数 f（x） ，根据题意有 f（1）=2，f（1）=e，解出即可； （）由（）知，f（x）1 等价于 xlnxxe x ，设函数 g（x）=xlnx，函数 h（x） =，只需证明 g（x）minh（x）max，利用导数可分别求得 g（x）min，
15、h（x） max； 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ， f（x）=+， 由题意可得 f（1）=2，f（1）=e， 故 a=1，b=2； （）由（）知，f（x）=exlnx+， f（x）1，exlnx+1，lnx， f（x）1 等价于 xlnxxe x ，设函数 g（x）=xlnx，则 g（x）=1+lnx， 当 x（0， ）时，g（x）0；当 x（ ，+）时，g（x）0 故 g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，从而 g（x）在（0，+）上 的最小值为 g（ ）= 设函数 h（x）=xe x ，则 h（x）=e x （1x） 当 x（0，1）时，h（x）
16、0；当 x（1，+）时，h（x）0， 故 h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 从而 h（x）在（0，+）上的最大值为 h（1）= 综上，当 x0 时，g（x）h（x） ，即 f（x）1 【点评】 本题考查导数的几何意义、 利用导数求函数的最值、 证明不等式等， 考查转化思想， 考查学生分析解决问题的能力 一 寸 光 阴 不 可 轻 9 6 （XXXX新课标）已知函数 f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线 y=f（x）和曲 线 y=g（x）都过点 P（0，2） ，且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2 （）求 a，b，c，d 的值； （）若 x2 时，f（x）kg（x） ，
