《人教版初三数学二次函数知识点及难点总结（2020年8月整理）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版初三数学二次函数知识点及难点总结（2020年8月整理）.pdf（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 初三数学 二次函数 知识点总结 二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小. 当 a0 时,二次函数图像向上开口；当 a0 时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置. 当 a 与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于 0,也就是- b/2a0,所以 b/2a 要小于 0,所以 a、b 要异号 可简单记忆为左同右异,即当 a 与 b 同号时（即 ab0）,对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0 ）,对
2、称轴在 y 轴右. 事实上,b 有其自身的几何意义： 二次函数图像与 y 轴的交点处的该二次函数图像切 线的函数解析式（一次函数）的斜率 k 的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与 y 轴交点的因素 常数项 c 决定二次函数图像与 y 轴交点. 二次函数图像与 y 轴交于（0，c) 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc=+（abc， ，是常数，0a）的函数，叫 做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a， 而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc=+的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于
3、自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 二、二次函数的基本形式 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 1. 二次函数基本形式： 2 yax=的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 yaxc=+ 的性质： 上加下 减。 3. () 2 ya xh= 的性质： 左加右 减。 a的符 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 () 00， y轴 0 x时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x=时， y有最小值0 0a 向下 () 00， y轴 0 x时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x
4、的增大而增大；0 x=时， y有最大值0 a的符 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 () 0c， y轴 0 x时，y随x的增大而增大； 0 x时，y随x的增大而减小； 0 x=时，y有最小值c 0a 向下 () 0c， y轴 0 x时，y随x的增大而减小； 0 x时，y随x的增大而增大时，y有 最大值c a的符 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 () 0h， X=h xh时，y随x的增大而增大； xh时，y随x的增大而减小； xh=时，y有最小值0 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 4. () 2 ya xhk=+的性质： 三、二 次函 数图 象的 平
5、移 1. 平 移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 ya xhk=+， 确定其顶点坐标()hk，； 保持抛物线 2 yax=的形状不变， 将其顶点平移到()hk，处， 具体平移方法如下： 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax2+ky=ax2 2. 平移规律 0a 向下 () 0h， X=h xh时，y随x的增大而减小； xh时，y随x的增大而增大； xh=时，y有最大值0 a的符 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 () h
6、k， X=h xh时，y随x的增大而增大； xh时，y随x的增大而减小； xh=时，y有最小值k 0a 向下 () hk， X=h xh时，y随x的增大而减小； xh时，y随x的增大而增大； xh=时，y有最大值k 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： cbxaxy+= 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy+= 2 变成 mcbxaxy+= 2 （或mcbxaxy+= 2 ） cbxaxy+= 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy+= 2 变成 cmxbmxay+
7、=)()( 2 （或cmxbmxay+=)()( 2 ） 四、二次函数() 2 ya xhk=+与 2 yaxbxc=+的比较 从解析式上看，() 2 ya xhk=+与 2 yaxbxc=+是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即 2 2 4 24 bacb ya x aa =+ ，其中 2 4 24 bacb hk aa = =， 五、二次函数 2 yaxbxc=+图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc=+化为顶点式 2 ()ya xhk=+，确定其 开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为： 顶点、 与y
8、轴的交点()0c，、 以及()0c，关于对称轴对称的点()2hc，、 与x轴的交点() 1 0 x ，() 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴 的交点. 六、二次函数 2 yaxbxc=+的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a = ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a = 时，y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为
9、 2 b x a = ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 当 2 b x a = 时，y有最大值 2 4 4 acb a 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc=+（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk=+（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx=（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有
10、的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解 析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc=+中，a作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口 的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，
11、当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b=时，0 2 b a =，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b=时，0 2 b a =，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 =在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab， 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 概括的说就是“左同右异” 总结： 3
12、. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c =时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二 次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来 说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对
13、称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc=+关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc=； () 2 ya xhk=+关于x轴对称后，得到的解析式是() 2 ya xhk= ； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc=+关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc=+； 一 寸 光 阴 不 可 轻 7 () 2 ya xhk=+关于y轴对称后，得到的解析式是()
14、 2 ya xhk=+； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc=+关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc=+； () 2 ya xhk=+关于原点对称后，得到的解析式是() 2 ya xhk= +； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 2 yaxbxc=+关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a = +； () 2 ya xhk=+关于顶点对称后，得到的解析式是() 2 ya xhk= + 5. 关于点()mn，对称 () 2 ya xhk=+关于点()mn，对称后，得到的解析式是() 2 22ya xhmnk= + 根据对称的性质， 显然无论
15、作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的 原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶 点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对 称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc+=是二次函数 2 yaxbxc=+当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当 2 40bac =时，图象与x轴交于两点()() 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是 一元二次方程() 2 00axbxca+=的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a =. 当0=时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点. 1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 一 寸 光 阴 不 可 轻 8 2 当 0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数
