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1、2019-2020学年高三年级上学期第三次摸底考试理科数学一选择题1.（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用集合的交运算即可求解.【详解】，.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.3.角的终边与单位圆交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义可得，再由二倍角公式可得【详解】由题意可得，所以.故
2、选：A【点睛】本题考查了三角函数的定义以及二倍角公式，需熟记公式，掌握三角函数的定义是关键，属于基础题.4.已知向量，设与的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.详解】设，由，可得， 设与的夹角为，且 则，所以.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】由单调递增，所以，即.由为增函数，则，所以，综上可得.故选：B【点睛】本题考查了指数函数、对数函
3、数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.6.若满足,则最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求最值得解.【详解】当xy时，设z=x-y,由题得，不等式组对应的可行域如图所示，当直线z=x-y经过点B(2,-2)时，直线的纵截距-z最小，z最大，此时z取最大值2-(-2)=4.当xy时，设z=y-x,由题得，不等式组没有可行域，所以该情况不存在.故选A【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以去掉B,D
4、;当 时， 所以去掉C,选A.8.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【详解】，则，可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题9.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据是等比数列，由，即可得也是等比数列，结合基本不等式的性质
5、即可求出的最小值.【详解】是等比数列，即，也是等比数列，且，可得：，当且仅当时取等号，的最小值为.故选：B【点睛】本题考查了等比数列的前项和性质以及基本不等式求和的最小值，熟记等比数列的前项和性质是关键，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图可知函数的周期，进而根据周期公式求出，利用对称轴以及的范围可求出，再由正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.【详解】由图可知，解得，所以，又，解得. ，所以，所以， 由，解得，所以的单调递增区间为.故选：C【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式以及整体代入法求函数的
6、单调区间，属于基础题.11.设函数的定义域为，满足，且当时，.记当时，函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据以及极值点与极值的定义求出判断分别为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的求和公式即可求解.【详解】由，即，当时，由题意可知，当时，则，则，当时，则，则，所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，所以.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的性质、极值点以及极值的定义、等差数列、等比数列的前项和公式，需熟记定义与公式，属于中档题.12.已知为锐角的外心，且三边与面积满足，若（其中是实数），则
7、的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面积公式求出，以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系（为边的中点），由外接圆的性质可得,由，不妨设外接圆的半径，则,可得的坐标，设，则的外接圆的方程为：，利用向量的坐标运算可得，从而求出，代入外接圆方程可得，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，可知，解得，所以，如图所示，以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系（为边的中点）由外接圆的性质可得,由，不妨设外接圆的半径，则,，,，则的外接圆的方程为：， ，否则三点共线，由图可知不可能的.可化为，代入的外接圆的方程可得，化为，化为，
8、解得或，又，所以，所以的最大值为.故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、向量的坐标运算以及基本不等式求最值，综合性比较强，属于难题.二填空题13.曲线在点处切线方程为_【答案】【解析】【分析】由题可判断出点在曲线上，所以通过求导求出切线的斜率，把斜率和点代入点斜式方程即可【详解】点（0，1）在曲线上，又由题意，斜率k，所求方程为：，即yx+1故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题14.如图，正六边形的边长为，记，从点这六点中任取两点为向量的起点和终点，则的最大值为_.【答案】2【解析】【分析】向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘
9、积取得最大值即可.【详解】由题意可知：则，由图可知时，所以，故的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题考查了向量数量积的定义，掌握向量数量积的定义是关键，属于基础题.15.公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值为方程的正根，这一数值也可以表示为，则_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.16.已知函数若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由已知条件令可得，分离参数可得，令，求出的值域即可求解.
10、【详解】，且令，即，从而可得，令，则，令，则，因为，所以，即在上为增函数，所以，即，所以，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于难题.三解答题17.已知数列的前项和为，且满足，.（）求数列通项公式；（）数列满足，记数列的前项和为，求证.【答案】（）（）证明见解析【解析】【分析】（）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. （）由（）得，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，易知单调递增，借助函数的单调性即可求解.【详解
11、】（）因为，当时，由-得，即，当时，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以；（）由（）得，所以，所以，所以令，易知单调递增，所以，即，所以.【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、裂项求和法以及函数的单调性求值域，综合性比较强，属于中档题.18.如图，在中，内角的对边分别为，已知，点在边上.（）求角；（）若，且的面积与的面积之比为，求.【答案】（）（）【解析】【分析】（）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式的逆应用即可求解. （）在中，从而可得，进而求出，在中，由正弦定理可得，根据的面积与的面积之比为，可得，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】（）由
12、题意，由正弦定理可得，即，在中，.，又在中，.（）在中，.由（）可知，在中，由正弦定理可得，的面积与的面积之比为，.在中，由余弦定理可得，【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理，属于中档题.19.如图，三棱柱的侧面是正方形，平面平面，点在上，是的中点.（）求证：平面；（）判断平面与平面是否垂直，直接写出结论，不必说明理由；（）求二面角的余弦值.【答案】（）证明见解析（）平面平面（）【解析】【分析】（）连结交于，因为为中点，所以，利用线面平行的判定定理即可证出（）首先利用面面垂直的判定定理即可得出结论.（）建立空间直角建立坐标系，分别求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用
13、空间向量的数量积即可求解.【详解】（）如图所示， 连结交于，因为为中点，所以，又因为平面, 平面,所以平面. （）平面平面.（）如图建立坐标系，设，设平面的一个法向量为，则，令，则，同理可得平面的一个法向量为，所以，因为二面角为锐二面角，所以求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及空间向量法求二面角，考查了推理能力以及空间想象能力，属于中档题.20.已知的两个顶点的坐标分别为，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.（）求顶点的轨迹的方程；（）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.【答案】（）（）证明见解析，定值为.【解析】【分析】（）设，根据题意列方程即可求解.（）设，由为的重心，可得，从而，将直线与椭圆方程联立整理利用韦达定理求出点坐标，代入椭圆方程可得，再利用弦长公式以及三角形的面积公式即可求解.【详解】（）设，因为点的坐标为，所以直线的斜率为同理，直线的斜率为由题设条件可得，.化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.（）设，因为为的重心，所以，所以，由得，又点在椭圆上，所以，因为为的重心，所以是的倍
