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1、第九讲 定积分的计算与广义积分,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 利用对称性/周期性/递推公式简化计算 用变量代换证明定积分公式 广义积分,定理,1、换元积分法,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例2 计算,解,令,原式,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,推导,2、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 设 求,解,定积分的分部积分公式,二、小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）
2、,思考题,思考题解答,证,即： 奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的,例2 计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,（1）设,（2）设,证,另证,将上式改写为,奇函数,例5 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明,证明,与 a 的值无关,例11 设 f(x) 连续，常数 a 0 证明,证明,比较等式两边的被积函数知，,例12 设 f ( x ) 连续,解,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,二、小结,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,5、无穷限的广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,证,证,二、无界函数的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,证,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8 计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,思考题,积分 的瑕点是哪几点？,思考题解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,
