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1、2020/8/1,同济版高等数学课件,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十一章,2020/8/1,同济版高等数学课件,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,最大值,2020/8/1,同济版高等数学课件,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形
2、构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,2020/8/1,同济版高等数学课件,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,2020/8/1,同济版高等数学课件,而,( 光滑),2020/8/1,同济版高等数学课件,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对
3、面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分. (见本节后面的例4, 例5),2020/8/1,同济版高等数学课件,例1. 计算曲面积分,其中 是球面,被平面,截出的顶部.,解:,2020/8/1,同济版高等数学课件,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,2020/8/1,同济版高等数学课件,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,2020/8/1,同济版高等数学课件,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的,投影域为,则,2020/8/
4、1,同济版高等数学课件,思考: 若例3 中被积函数改为,计算结果如何 ?,2020/8/1,同济版高等数学课件,例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?,2020/8/1,同济版高等数学课件,例5. 计算,解: 取球面坐标系, 则,2020/8/1,同济版高等数学课件,例6. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,2020/8/1,同济版高等数学课件,例7. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面
5、积元素,两片,则计算较繁.,2020/8/1,同济版高等数学课件,例8. 求椭圆柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,2020/8/1,同济版高等数学课件,例9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度,h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R = 6400 km ),解:,建立坐标系如图,记覆盖曲面 的,半顶角为 ,利用球面坐标系, 则,卫星覆盖面积为,2020/8/1,同济版高等数学课件,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知, 卫星覆盖了
6、地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明: 此题也可用二重积分求 A .,2020/8/1,同济版高等数学课件,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式,简化计算的技巧.,2020/8/1,同济版高等数学课件,思考与练习,P217 题1；3；4 (1) ; 7,解答提示:,P217 题1.,P217 题3.,设,则,P244 题2,2020/8/1,同济版高等数学课件,P217 题4 (1)., 在 xOy 面上的投影域为,这是 的面积 !,2020/8/1,同济版高等数学课件,P218 题7.,如图所示, 有,2020/8/1,同济版高等数学课件,P244 题2.,限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),2020/8/1,同济版高等数学课件,作业,P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8,第五节,2020/8/1,同济版高等数学课件,备用题 1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的,的面密度,质量 M .,解: 在 xOy 面上的投影为,故,2020/8/1,同济版高等数学课件,2. 设 是四面体,面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,2020/8/1,同济版高等数学课件,
