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1、数与形，本是相倚依， 焉能分作两边飞。 数无形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 切莫忘，几何代数统一体， 永远联系莫分离。 华罗庚,新课：,3.2函数的单调性,本节课的重点：函数单调性的定义及判定,难点：函数单调性的证明,引例1：图示是绵阳市某一天24小时内的气温变化图。气温是关于时间 t 的函数，记为 f (t) ，观察这个气温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下降的？,x,y,y = x,O,1,1,引例2：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,
2、O,1,1,引例2：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,引例2：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,引例2：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大而减小；,x1,f(x1),x,y,y = x,O,1,1,引例2：画出下列函数的图象,（1）y = x,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 y随x的增大
3、而减小；,x1,f(x1),（-, + ）,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,x1,f(x1),O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x
4、2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，
5、在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,O,x,y,y = x2,（2）y = x2,引例2：画出下列函数的图象,1,1,此函数在区间 内y随x的增大而增大，在区间 内y随x的增大而减小。,f(x1),x1,（-, 0 ,0, + ),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f
6、(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),0,y,x1,x2,f(x2),f(x1),x,x,那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.,由此得出单调增函数和单调减函数的定义.,x,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
7、,如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，,那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.,增,当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，,单调区间,通俗地说：,若一个函数在它的定义域内的某一区间上,当自变量由小到大,函数值也有小到大,则称函数在该区间上为增函数,若一个函数在它的定义域内的某一区间上,当自变量由小到大,函数值反而由大到小,则称函数在该区间上为减函数,从函数的图象上看：,如果从左到右图象上升,则函数是该区间上的增函数,如果从左到右图象下降,则函数是该区间上的减函数,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
8、,（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断1：函数 f (x)= x2 在 是否单调增函数；,（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;,（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。,注意：,判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；,（3） x 1,
9、x 2 取值的任意性,（一）单调性的判断,例1：如图是定义在闭区间-5，5上的函数 的图像， 根据图像说出 的单调区间，以及在每一单调区间上， 是增函数还是减函数.,通过观察函数图像 判断函数的单调性,解：,函数的 单调区间有,-5，-2），-2，1）,1，3），3,5，,在-2，1），3，5是增函数.,其中 在区间 -5，-2）,1，3）是减函数,例题,例2.（教材P30例2）判断函数的单调性,数缺形时少直观,解：,函数的定义域是,由函数图象知,1,2,0,2,说明，要判断函数的单调区间和单调性，常用图象法。,函数在上 是增函数。,形少数时难入微,（二）函数单调性的证明,函数 在R上是增函数
10、.,证明：,在R上任取两个值且,则,例3.证明函数 在R上是增函数.（教材P30例3),取值,作差,变形,定号,结论,5. 下结论,函数单调性的证明的主要步骤是,形少数时难入微,（二）函数单调性的证明,任取x1，x2D，且x1x2；,1. 取值，,f(x1)f(x2)；,2. 作差，,3. 变形，,（通常是因式分解和配方）；,4. 定号,（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；,课堂练习1,教材P31练一练第1、2题,1.,2.,(1),(2),的单调区间有,-3,-1.5)，-1.5,1.5)，1.5,3,的单调区间有,其中，增函数区间是,-1.5,1.5)，,-3,-1.5)，1.5,3,
11、减函数区间是,其中，增函数区间是,减函数区间是,作出函数的图象,在区间 上,是增函数,小结,1.函数单调性的定义中有哪些关键点？,(1)自变量由小到大，函数值也由小到大，是增函数；自变量由小到大，函数值反而由大到小，是减函数。,或者是函数图象从左到右上升的，是增函数，下降的，是减函数。,(2)函数的单调性是局部性质，所以它必须落到具体区间上去。,(3)自变量必须取区间上的任意两个值。,2.判断函数单调性常用什么方法？,用图象法观察,3.证明函数单调性有哪些步骤？,(1)取值，定义域中任取两个值x1、x2,且令x1x2,(2)作差，f(x1)f(x2),(3) 变形，,(4) 定号，（须利用x1x2 ),(5) 结论，（根据增、减函数的定义）,作 业：,祝你愉快,1、教材 P 31习题3.2第1、2、3题,2、练习册P18193.2全部,
