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1、第 3 章 傅里叶变换,主讲： 黄 慧,目 录,3.3 傅里叶变换,3.1 周期信号的傅里叶级数分析,3.2 典型周期信号的傅里叶级数,3.4 典型非周期信号的傅里叶变换,3.5 傅里叶变换的基本性质,3.6 周期信号的傅里叶变换,3.7 取样信号的傅里叶变换,3.8 系统的频域分析,3.9 信号的传输,3.1 周期信号的傅里叶级数分析,从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函数线性组合的无穷级
2、数。如果正交函数集是三角函数集或指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。,其中,例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。,解：一个周期内 的表达式为：,因此,3.1.2 指数形式的傅里叶级数,其中,Fn与nw1形成函数关系,f(t)分解为不同频率指数函数线性组合的无穷级数。,f(t) Fn建立一一对应关系。,例题：如图所示信号f(t)的指数形式的傅里叶级数。,分析：要求级数只要确定了系数Fn即可。,解：,例题：已知信号f(t)=cos100t,求指数形式的傅里叶级数系数Fn。,解：,所以,例题：已知指数形式的傅里叶级数系数Fn如图所示，求信号f(t),解：,所以,3
3、.1.3 周期信号的频谱及其特点,1. 周期信号的频谱,f(t) Fn建立一一对应关系。,不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。,例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。,解：,所以,例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。,解：,所以,例题 求题图所示的周期矩形信号指数形式的傅里叶级数，并画出频谱图。,解：一个周期内 的表达式为：,幅度频谱和相位频谱,离散性,谐波性,收敛性
4、,频谱的特点,2. 周期信号频谱的特点,（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱称为 离散频谱,（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,如果f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。,（1）偶函数,所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能含有（直流）和余弦分量。,（2）奇函数,在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流与余弦分量，只可能包含正弦分量。,（3）奇谐函数,或,（3）奇谐函数,可见，在奇
5、谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。,3.2 典型周期信号的频谱,3.2.1 周期矩形脉冲信号,(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数,f(t)的指数形式的傅里叶级数为,（2）频谱图,则,第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。,结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。,（3）频谱结构与波形参数的关系（T1, ）,1. 若 不变， 扩大一倍，即,2.若 不变， 减小一半，即,谱线间隔 只与周期T1 有关，且与T1成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。,3.2.2 周
6、期锯齿脉冲信号,周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,3.2.3 周期三角脉冲信号,周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。,3.3 傅里叶变换,由于,频谱密度函数,则,- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换,- 相位谱,周期信号：,- 连续谱,- 离散谱,- 幅度谱,3.4 典型非周期信号的傅里叶变换,一、单边指数信号,二、双边指数信号,三、对称矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号：,P102最下边,四、符号函数,F,五、 冲激函数和冲激偶函数,单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“
7、均匀谱”或“白色频谱”。,(1）冲激函数的傅里叶变换,(2）冲激函数的傅里叶逆变换,F,（3）冲激偶的傅里叶变换,F,即：,上式两边对t 求导得：,F,五、阶跃信号,3.5 傅里叶变换的基本性质,3.5.1 线性,则Faf1(t)+b f2(t)=aF1(w)+b F2(w),3.5.2 对称性,若Ff1(t)=F1(w), Ff2(t)=F2(w),例如：,若Ff(t)=F(w),则FF(t)=2f(-w),解：,解：,3.5.3 对偶性,两种特定关系：,1. 若f(t)是实函数，或纯虚函数 f(t)= j g(t)，则 |F(w) |是偶函数,(w)是奇函数。,2. 若f(t)是 t的 实
8、偶函数，则 F(w)必为 w 的实偶函数 F(w)=R(w),若f(t)是 t 的实奇函数，则 F(w)必为 w的虚奇函数 F(w)=jx(w),3.5.4 位移特性,（1）时移特性,例3-5：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。,根据时移特性,幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移-w/2,Ff(t) =ESa(w/2)e-jw/2,(2)频移特性,解：,例3-7：求 的频谱。,例3-8：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=G(t) cos0t，其中 G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。,解：f(t)=G(t) cos0t=0.5 G(t)(ej0t+e-j0t),由上可见，信号在时
9、域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展等效在频域中压缩。,3.5.5 尺度变换特性,则,若,Ff(t),Ff(at),综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：,3.5.6 微分与积分特性,（1）时域微分特性,Ff(at-t0),Ff(at+t0),（2）时域积分特性,思考问题：若已知函数m(t)=f(t),并且f(t)傅里叶变换为F(w), 那么能否直接利用上式求出m(t)的傅里叶变换？,答案是否定的。关键在于f(t)的积分不一定等于m(t)。,因此，若已知函数m(t)=f(t),并且f(t)傅里叶变换为F(w),那么利用 F(w)求m(t)的傅里叶变换时应利用,若m(-)和m
10、(+)都为0，那么上式,例：利用积分特性分别求f1(t)=u(t) 及f2(t)=0.5sgn(t)的傅里叶变换。,解：由于,（3）频域微分特性,例：,若,则,3.5.7 卷积定理,（1）时域卷积定理,（2）频域卷积定理,例3-13：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱。,解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t) 与无穷长余弦函数的乘积。,F,例3-12：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱,解：我们可以把三角脉冲看作是两个同样的矩形脉冲的卷积。而矩形脉冲的幅度、宽度可以由卷积的定义直接看出，分别为2E/及/2。,3.6.1 正弦、余弦信号的傅里叶变换,非周期信号,傅里叶变换,3.6 周期信号的傅里叶
11、变换,3.6.2 一般周期信号的傅里叶变换,令周期信号f(t)的周期为T1,角频率为 。它的傅里叶级数为,周期信号f(t)的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频处 ，每个冲激的强度等于f(t)的傅里叶级数相应系数Fn的 倍。,其中：,对式（1）两边取傅里叶变换,或：,例3-14：求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。,解：已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换F0(j)为,设：,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“取样”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“取样信号”。,3.7.1 信号的取样,3.7 取样信号的傅里叶变换,也称抽样，它是用离
12、散化的一组样本值表示连续函数的过程或者方法。,抽样脉冲信号的频率 称为抽样频率，记为fs。,抽样脉冲信号,原始信号,已抽样脉冲信号,3.7.2 已取样信号的傅里叶变换,其中：,所以，,（1）矩形脉冲取样,取样脉冲p(t)是矩形脉冲，令它的脉冲幅度为E，脉宽为，取样角频率为s，这种取样也称为“自然取样”。,（2）冲激取样,若取样脉冲p(t)是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想取样”,显然，F(j）在以s 为周期的重复过程中幅度以 的规律变化。,由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以F(j)是以s为周期等幅地重复。,3.7.3 取样定理,理想低通滤波器的频率特性为：,其中：,通常把最低允许的
13、取样率称为奈奎斯特取样率，把最大允许的取样间隔称为奈奎斯特间隔。即,或：,时域取样定理：一个频谱受限的信号 f(t)，如果频谱只占据-mm的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的取样值来惟一地表示。而取样间隔Ts1/(2fm) (其中m=2fm），或者说，取样频率fs2fm。,解:（ 1）,奈奎斯特取样率为：,例3-16已知信号 用 对其进行取样， （1）确定奈奎斯特取样率； （2）若取 求取样信号 并画出波形图； （3）求 并画出频谱图； （4）确定低通滤波器的截止频率,F,（2）,（3）,即,低通滤波器的截止频率 应满足下式：,3.8.1 系统响应的频域表示,（1）,对式（1）两边取傅里叶变
14、换：,3.8 系统的频域分析,3.8.2 系统的频域模型 - 系统频率响应,由于 可对 进行某种加工变成响应信号，因而， 也称为系统的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。,- 幅频特性,- 相频特性,（1）由微分方程求,设：,对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），得,（2）由冲激响应求,F,解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得,解法二：先求h(t)再求,由2.3节介绍的求冲激响应的方法，可求出,再对上式取傅里叶变换，得,F,解：由频域等效模型得：,3.9.1 无失真传输,信号无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。,1. 时域条件,(1),3.9 信号的传输,2. 频域条件,(1),对式（1）两边取傅氏变换，得：,即,无失真传输系统应满足如下两个条件： （1）系统的幅频特性在整个频率范围内为常数； （2）系统的相频特性在整个频率范围内应与 成正比变化。,(2),作业,3-1 3-3 3-4 3-15 3-19 (b) 3-21 3-23 3-24 3-25 3-26 3-29(1)(4)(6) 3-39 (1)(4 ) 3-41,课下练习： 3-7 3-8 3-11 3-14 3-16 3-17 3-19 (a) 3-29(2)(3)(5)(7) 3-31 3-42 3-33 3-34 3-40 3-42,
