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1、选择-消费者均衡分析 一.良好性状偏好消费者选择的几何分析,.,N,A,B,E,C,3,12,1.5,6,x1,x2,.,.,.,.,1.消费者的选择为E点. 2.E点为均衡点. 如何理解经济学的均衡概念. 3.E点的存在性与唯一性对偏好提出了要求. 4.E点在边界上达到. 5.在E点,预算性与无差异曲线相切. MRS12=MU1/MU2=p1/p2 1)相切条件. 2)边际意愿替代率与市场替代率相等. 3)对正单调转换的不变性.,6. MU1/p1=MU2/p2=* 1)等边际效用法则. 2)货币的影子价格. 3)对正单调转换的可变性. 4)解释需求曲线向下倾斜. 7.效用函数为u(x1,x
2、2)=x1x2 预算线为 8x1+2x2=24 MU1/MU2=x2/x1=p1/p2=8/2=4 解得:x1*=1.5 x2*=6 u*=u(x1*,x2*)=9 * =0.75/2/,二.特殊偏好的均衡分析 1.完全替代,m/p1,m/p2,u(x1,x2)=x1+x2 p1m/p2 在E点,相交而非相切 x1*=m/p1 x2*=0 u*=x1*=m/p1,E,A,B,x2,x1,.,.,.,E,p1p2 x1*=0 x2*=m/p2 u*=x2*=m/p2 经济解释,p1=p2 预算线与一条 无差异曲线重 合,其上所有点 都是均衡点,p1x1*+p2x2*=m u*=m/(p1),x2
3、,x2,x1,x1,2.完全互补,A,B,E,C,x2=x1,m/p1,m/p2,u(x1,x2)=minx1,x2 无差异曲线在E点不可 导,在E点不是相切,是 相交,交点是唯一的. x1*=x2*=m/(p1+p2). u*=u(x1*,x2*)= m/(p1+p2).,x2,x1,3.厌恶品,E,角点解,相交非相切. x1*=m/p1 x2*=0. 全部购买嗜好品.,x2,x1,4.中性商品,E,x2,x1,5.离散商品,.,.,.,.,.,.,.,.,.,E,.,.,.,.,.,.,.,.,.,E,x2,x2,x1,x1,.,.,.,.,.,.,三.均衡的存在性与唯一性 1.威恩斯特拉
4、斯(weierstrass)定理 设f:SR是一个连续实值映射,其中S是Rn 的一个非空的紧子集,那么存在一个向量 xMaxS与一个向量xMinS,使得 f(xMin)f(x)f(xMax) 对于xS. 闭区间上连续函数取最大值和最小值的一 般化. 2.Max u(x) s.t pxm 预算集B是Rn的紧子集.偏好关系是完备的.可传递的.连续的.严,格单调的 u(x)存在.是实值连续函数. 根据威恩斯特拉斯(weierstrass)定理 均衡存在. 根据严格单调性 x*在B的边界达到, px*=m. 根据偏好关系严格凸性 u(x)严格拟凹 x*是唯一的. 证明:如果x*不是唯一的, 存在x1和
5、x2是最优点. u(x)严格拟凹,存在xt, u(xt)u(x1),矛盾.,四.均衡的代数分析 多元函数偏导数就是将其余变量看作常数 对该变量的导数. 1.等式约束极值的拉格朗尔乘子法 Max(Min)y=f(x1,x2,xn) s.t g(x1,x2 ,xn)=0 拉格朗尔函数 L(x1,x2 ,xn,)= f(x1,x2,xn)-g(x1,x2 ,xn) 必要条件: Li=0 (i=1,2 ,n) L=0 fi=gi g(x1,x2 ,xn)=0,2.Max u(x1,x2)=x1x2 s.t 8x1+2x2=24 4x1+x2=12 L(x1,x2, )=x1x2- (8x1+2x2-2
6、4) L1=x2-8=0 L2=x1-2=0 8x1+2x2-24=0 解得x1*=1.5 x2*=6 u*=u(x1*,x2*)=9 3.u(x1,x2)=x1cx2d Max lnu(x1,x2)=clnx1+dlnx2 s.t p1x1+p2x2=m L(x1,x2, )= clnx1+dlnx2- (p1x1+p2x2-m),L1=c/x1-p1=0 c=p1x1 L2=d/x2-p2=0 d=p2x2 L=-p1x1-p2x2+m=0 c+d= (p1x1+p2x2) =(c+d)/m x1*=c/(p1)=c/(c+d)(m/p1) x2*=d/(p2)=d/(c+d)(m/p2)
7、 x1*=x1*(p1,p2,m),x2*=x2*(p1,p2,m) 马歇尔需求函数. u*=u(x1*,x2*)=u*(p1,p2,m)间接效用函数.,4. Max u(x1,x2,xn) s.t p1x1+p2x2+pnxn=m L(x1,x2 ,xn,)= u(x1,x2,xn) - (p1x1+p2x2+pnxn-m) Li=ui-pi=0 L=-p1x1-p2x2-pnxn+m=0 1)xi*=xi*(p1,p2,pn,m) 马歇尔需求函数. u*=u*(p1,p2,pn,m) 间接效用函数. 2)ui/uj=pi/pj,需求比较静态分析 一.收入变动的比较静态分析 1.其他条件不变
8、 偏好不变.无差异曲线不变. 价格不变.预算线斜率不变. 收入变动.预算线平行移动. 2.收入提供曲线与恩格尔曲线 收入提供曲线是收入变动均衡点变动曲线. 恩格尔曲线是某种商品需求与收入变动的关系曲线.,.,.,.,x1*,x2*,x3*,E1,E2,E3,x1*,x2*,x3*,m1,m2,m3,x1,m,x1,x2,收入提供曲线,恩格尔曲线,3.完全替代,E1,E2,E3,x1*=m/p1,p1p2,x1=m/p1,m,x1,x2,x1,收入提供曲线,恩格尔曲线,4.完全互补,x1*=x2*=m/(p1+p2),x2=x1 收入提供曲线,x1=m/(p1+p2) 恩格尔曲线,E1,E2,E
9、3,x2,x1,x1,m,5.柯布道格拉斯 x1*=c/(c+d)(m/p1)= (m/p1) 6.相似偏好 xy 对于t0 tx ty 相似偏好. 需求束与收入按相同比例增减,恩格尔曲线是 过原点的直线. x*是收入m时的需求束,px*=m,x* y.pym. ptx*=tm,相似偏好tx* ty.ptytm. tx*是收入tm时的需求束. 完全替代.完全互补.柯布道格拉斯偏好是相 似偏好.,7.拟线性偏好,x1*=m/p1,4,1,2,3,4,5,收入提供曲线 u=(x1)0.5+x2 p1=1 p2=4 x1*=(p2/(2p1)2 =4,4,4,x1=m,x2,x1,x1,m,8.基于
10、需求与收入变化关系的商品分类 收入增加,需求增加,中高档商品;收入增加, 需求下降,低档商品. x1是低档商品,x2是中 高档商品.低档商品不是厌恶品.,.,.,m,x1,x1,x2,E1,E2,二.价格变动的比较静态分析 1.其他条件不变 偏好不变.无差异曲线不变. 收入和另一种商品价格不变.预算线在另一种 商品轴截距不变. 某种商品价格变动.预算线饶不动点转动. 2.价格提供曲线与需求曲线 价格提供曲线是价格变动均衡点变动曲线. 需求曲线是某种商品需求与其价格的关系曲 线.又称作普通需求曲线.,.,.,p1,x1,m/p1,m/p1,p1,p1,x1*,x1*,价格提供曲线,需求曲线,基数
11、效用理论边际效用递减规律 需求曲线向下倾斜规律,x2,x1,3.完全替代,p1p2,p1=p2,p1p2,价格提供曲线,p1,x1,.,p2,p1p2,x1=0; p1=p2, x1=0m/p2; p1p2,x1=m/p1.,x2,x1,4.完全互补,m/p2,p1,x1,价格提供曲 线与收入提 供曲线重合,x1=m/(p1+p2),x2,x1,5. 基于需求与价格变动关系的商品分类 某商品需求量随自身价格下降而增加, 正常商品. 某商品需求量随自身价格下降而下降, 吉芬商品. 某商品需求量随另一种商品价格上升而 增加,互为替代品. 某商品需求量随另一种商品价格上升而 下降,互补品. 某商品需
12、求量随另一种商品价格上升保 持不变,无关商品.,三.税收效应分析 1.所得税等价于收入减少变动,从量税和从价 税等价于价格上升变动. 2.从量税与等量所得税效应比较,E2,E1,E3,m/p1,m/(p1+t),x2,x1,1)从量税预算线(p1+t)x1+p2x2=m 在E2点, (p1+t)x1*+p2x2*=m,税收收入为tx1*. 2)等量所得税预算线p1x1+p2x2=m- tx1*. (x1*,x2*)满足该式,该线过E2点. 3)-(p1+t)/p2-p1/p2. 两线相交于E2点,等量所得税预算线平缓,一定 存在更优选择E3. 4)等量所得税优于从量税. 比较静态分析与导数,四
13、.几个概念 1.马歇尔需求函数 和间接效用函数. 1)maxu(x) s.t pxy x=x(p,y)马歇尔需求函数 v(p,y)=u(x(p,y)间接效用函数 2) 完备的,可传递的,连续的,严格单调的,严格凸的马歇尔需求函数x=x(p,y):,(1) 关于p和y是零次齐次的. (2) 满足预算平衡性p x(p,y)=y. (3)x*0,p*0,y00 u在R+n上二阶连续可微, u(x*)/xi0. u的加边海塞矩阵H 在x*处有一个非零的行列式 马歇尔需求函数x=x(p,y) 在(p0,y0)处可微.,0 u1 u2 un u1 u11 u12 u1n H = u2 u21 u22 u2
14、n un un1 un2 unn,3) u在R+n上是连续的且严格递增的, 间接效用函数v(p,y): (1)在R+n R+上连续. (2)关于(p,y)是零次齐次的. (3)关于y是严格递增的. (4)关于p递减. (5)关于(p,y)是拟凸的. (6)罗伊等式:如果v(p,y)在(p0,y0)处可微. v (p0,y0)/y0,xi (p0,y0)= -v (p0,y0)/pi / v (p0,y0)/y,2.希克斯需求函数和支出函数. 1)min px s.t u(x) u x=x(p, u)希克斯需求函数 e(p, u)=px(p,u)支出函数 2) u在R+n上是连续的且严格递增的,
15、支出函数e(p, u): (1)当u取U中的最低效用水平时,它为零. (2)在R+n R+上连续.,(3)对p0,关于u是严格递增 且无上界. (4)关于p递增. (5)关于p是一次齐次的. (6)关于p是凹的. (7)如果u是严格拟凹的, 谢泼德引理: (p0, u0)处, p00,如果e(p, u)可微. e(p0, u0)/pi=xih(p0, u0 ),3.关系对偶性 v(p,y)与e(p, u) u在R+n上是连续的且严格递增, p0, y 0. (1) e(p, v(p,y)=y. (2) v(p, e(p, u) )= u. 2) x(p,y)与x(p, u) 完备的,可传递的,
16、连续的,严格单调的,严格凸的, p0, y 0. u U,(1) xi(p, y)=xih(p,v(p,y). (2) xih(p,u)= xi(p, e(p,u)/3/,显示偏好 消费者偏好(不可观察)需求理论 市场需求的可观察性质消费者行为 消费者可观察的行为消费者可观察选择 的假设中不可观察偏好消费者理论 保罗-萨缪尔森,经济分析基础,1947. 一.显示偏好 假设基本偏好是严格凸的. 1.直接显示偏好,1)定义:x0.x1X,x0 x1,p0 x0p0 x1 或在x1可选的情况下,消费者在p0时 选择x0,称x0被直接显示偏好于x1. 2)p0=(p1,p2)=(1,2),x0=(1,
