《第一章函数说明知识分享》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章函数说明知识分享（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第一章 函 数,2,1.2 实数集,关于邻域的概念（参见教材P12-P13),定义：设 与 是两个实数，且 ，数集,称为点 的 邻域，记为 .即,可见邻域 是数轴上的一个以 为中心，以 为半径的开区间:,反之，以 为中心的任意开区间都是 点的邻域，可简记为,3,在微积分中，我们也经常用到 的 去心邻域：,显然，去心邻域 就是邻域 去掉其中心点,1.31.4 函数概念,定义域,自变量,因变量,对应关系,（一）基本概念,5,例1 下列函数为同一函数的是（ ） A B C D,但习惯上，给定一个函数往往只标出对应法则 f，未指明定义域。确定定义域是找出使函数表达式有意义的自变量的取值范围。对于用
2、解析式表示的简单函数，确定其定义域主要根据的规则见下页。,6,确定函数定义域主要依据的规则是：,1. 分式中的分母不为零；,2. 对数的真数大于零；,3. 负数不能开偶次方；,上述数种情形同时出现在一个函数中，应 取其交集。,对于实际应用问题还需保证有符合题意的 条件。,7,例2. 确定函数 的定义域,解：y由两部分组成： 及,对于 由 解得,所以 的定义域,对于 由 解得,8,（二）函数表示法,（2）解析法：用数学表达式（又称解析表达式）表示函数关系的方法。,（3）图示法：用平面直角坐标系下的点、线表示函数关系的方法。,（1）表格法：用列表的形式表示自变量与因变量对应关系的方法。,函数有如下
3、三种表示法：,本教材主要讨论用解析法表示的函数，根据解析表达式的形式不同，解析法表示的函数，又分显函数、隐函数、分段函数三种。,9,（2）分段函数用两个或两个以上的代数式表示 的函数（参见书P22-231.4)；,（三）显函数、分段函数、隐函数,（1）显函数用自变量x的代数式表出因变量y的 函数.,例如 y=sinx ， y=x2+1,例如,10,下面的两个函数也是分段函数(参见教材P22)：,例2 符号函数,例3 取整函数,记号 表示不超过x 的最大整数，例如,等等。,上两个函数的图像见教材P22.,11,关于分段函数需注意：,例如： x+y-exy=0 ， 都是隐函数, 分段函数是用几个式
4、子表示的一个函数；, 分段函数各段的定义域必须明确标出；, 求分段函数的函数值 时，应看清 属哪一段，再用相应的表达式求值；, 分段函数的定义域是各段函数的定义域的并集。,（3）隐函数函数y与自变量x的对应法则由 方程F(x,y)= 0 来确定。,(另外的例参见书P21),12,1.6 函数的几种简单性质,（参见教材P26-30）,13,(一) 函数的奇偶性（参见教材P26-28）,定义：设y=f(x)的定义域D关于原点对称,（1）若,则称 f (x) 为偶函数;,（2）若,则称 f (x) 为奇函数.,奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像 关于y轴对称:,14,常见的奇函数：,常见的偶函数
5、：,（k为整数）,例1、判断函数 的奇偶性,解：f(x)的定义域为,所以 f(x)为奇函数,15,一奇一偶（非零）相乘除奇,（非零）偶奇=非奇非偶,判断函数的奇偶性除用定义外，还可用如下性质：,奇 奇奇 ； 偶 偶偶 ；,例(略),16,(二)函数的 周期性（参见教材P28）,周期为 ,周期为,定义：若 ,使对任意 ，恒有,17,设函数,且有区间,(三) 函数的有界性,说明: 还可定义有上界、有下界。,(四)函数的 单调性,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,时,单增函数和单减函数统称为单调函数。,18,注意：单调函数必须指出它的单调
6、区间。,在 内单调减少；,在 内单调增加；,在 内它不是单调函数，而是分段单调的函数。,例如， （如图）,19,1.7 反函数和复合函数,（一）反函数,习惯上记此反函数为,20,1、解出,可见一个函数如果有反函数，则该函数必为一、 一对应的函数，并有如下性质：,；2、互换x与y .,21,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调增,指数函数,22,（二）复合函数,非空，则称,这里x为自变量，y为因变量，u称为中间变量 .,为x的复合函数 .,由定义，,就不能复合成关于x的函数 .（想一想，为什么？）,23,1.8 初等函数,（一） 基本初等函数（参见教材P34-37),基本初等函数：常数函数
7、，幂函数，指数函数，对数函 数，三角函数和反三角函数。,基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合运算所 得的用一个式子表示的函数，称为初等函数。,（二） 初等函数,注意：分段函数不是初等函数,基本初等函数或基本初等函数的线性函数常称为简单函数。,24,（三）函数符号的应用,这类问题要求掌握以下两类：,这类问题的求解有两种方法：,2、已知复合函数 的表达式，求 的表达式 .,25,解法1、换元法,所以, 令 ，从中反解出 ，求出 的表达式，再将u换成x，则得 的表达式。, 将 的表达式凑成 的函数关系式， 然后将所有 的位置换成x，则得 的表达式,例1、设有函数 ，求,26,解法2、 将原式右边凑成以x+1为变量的形式,所以,27,例2、将下列复合函数分解成若干简单函数。,解：,(2),(1),(1),(2),
