《x11-5方向导数教材课程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《x11-5方向导数教材课程（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、方向导数与梯度,11-5,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的提出,函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)沿某一方向h的变化率问题,二、方向导数的定义,例,例：求函数在点O沿任意方向h0=(cos,cos)的方向导数,方向余弦,定理11-6： 若u= f( r)=f(x,y,z)在点r0=(x0,y0,z0)处可微， 则沿方向h0=(cos,cos,cos)的方向导数
2、为：,解,由方向导数的计算公式知,三、梯度的概念,过P点的方向有无数，如何找出函数增加最快的方向？,也为多元函数f在点r0的导数记为D f （r0） gradf (r0)= f （r0）=（fx(r0), fy(r0）, fz(r0) ） 梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,2.梯度的运算公式： gradC=O grad（mUnV）=m gradUngradV grad(UV)= Ugrad(V)+ Vgrad(U) grad(U/V)= Vgrad(U)- Ugrad(V)/v2,例,例1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z
3、 具有轮换对称性,(92考研),指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,例2. 函数,解:,则,(96考研),例3.,证:,试证,PQ=1 ，-1, 1 PQ0= e=1,-1,1/ = gradTe,例4 一金属球内任一点处温度与该点到球心（原点）距离成反比且已知在点P（1，2，2）处的温度为400 求 （1）求球温T在点（1,2，2）处沿P到Q（2,1，3）方向的变化率。 （2）求球温T在点（1,2，2）最大变化率为多少？ (3) 证明球内温度T任意点处上升最快的方向总是指向原点方向。 解 (1),(2) T(X)在P点处沿gradT
4、 方向的最大变化率| gradT |,等值面，等值线： 设空间区域R3上U=f(x,y,z),取u相同数值的点所组成的曲面，f(x,y,z)=C为等值面。 例：u=(R2-x2-y2-z2)1/2=C的等值面为同心球面。 设平面区域DR2上U=f(x,y)取u相同 数值的点所组成的曲线，f(x,y)=C 为等值线。,等高线的画法,用平面z=c去截曲面z=f(x,y)。,曲线在xoy面上投影为等值线f(x,y)=C,等值线,(P61)梯度与等值线f(x,y)=C在点P处的切线垂直,切向量,（P60) u=f(x,y,z)的在任点梯度gradf与过该点的等值面垂直 (即与该点的切平面垂直。）,gr
5、adf,h,等值面：f(x,y,z)=C,确定二元函数隐函数z =z (x, y) 切平面的法向量,两边对 x ，y求偏导,例1设f(x,y)=xey (1) 求grad f（x,y）； （2）求f在点P（2，0）处沿P到Q(1/2，2)方向的变化率。 （3）问f(x,y)在P点处沿哪个方向的变化率最大？最大变化率为多少？ 解 (1) grad f（x,y）=(ey， xey)|(2,0)=(1,2) (2) PQ=-3/2 ,2 PQ0= h=(-3,4)/5 = gradfh0=(1,2) (-3,4)/5=1,(3) f(X)在P点处沿grad f（x,y） =(1,2)方向的变化率最大
6、 | grad f（x,y） |=,解,由梯度计算公式得,故,解：函数的等值线为椭圆，法线方向为梯度方向,方向向内，即内法向方向,梯度方向上方向导数最大为,解,例4,例5求函数处沿外法线方向的方向导数。,例6. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,曲线,1. (1),在点,解:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,例7. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,
