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1、1,第2章导数与微分,2.1导数的概念. 2.2导数的运算. 2.3隐函数及由参数方程确定的函数的导数. 2.4高阶导数. 2.5微分.,2,2.1 导数概念,主要内容 1.引例 2.导数的定义 3.导数的几何意义 4.函数的可导与连续的关系,3,一、 引例,（一） 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,4,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,割线MN的斜率,切线MT 的斜率,（二）切线问题,5,如果上述极限不存在，称函数f(x)在点x0处不可导,如果极限,在点x0处的导数，记为 f (x0)，即,二 导数的定义,则称函数 在点
2、 处可导,且称此极限值为函数,设函数 在点 x0的某个邻域内有定义。,但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数 在点 x0 处的导数为无穷大,定义,存在,6,导数的其它符号：,函数的导数：,导数的其它定义式：,求函数y=x2在点x=2处的导数。,解,例1,7,函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在区间 I 内每一点都可导，则称f(x)在,导函数的定义式：,f (x0)与f (x)之间的关系：,一点 x，都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为,函数 y=f (x) 的导函数，简称为导数，记作,区间 I 内可导，这时，对于区间 I 内每,8,由定义求导数（三步法）,
3、(3) 取极限：,(1) 求增量：,(2) 算比值：,(1) 求增量：,（2）算比值：,解,（3）取极限：,即,9,例,求函数,的导数。,(1) 求增量:,(2) 算比值:,(3) 取极限:,即,由于函数在某点的导数就是导函数在该点的函数值，,点的导数，可以先求出导函数,再将,代入，求出导函数的值,即可,所以求函数在,解,10,更一般地，有 (x m)=m x m-1(其中m为常数)。,把以上结果中的a换成x得f (x)=n xn -1，,即 (xn)=nxn-1。,求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数。,解,例,11,例,类似地可求得 (cos x )=-sin x。,即
4、(sin x) =cos x。,解,求函数的导数,12,求对数函数 y=log ax 的导数。,解,特殊地，,例,13,运用导数定义可以推出幂函数，正弦函数，余弦函数以以及对数函数的导数公式，它们是：,14,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,若,15,例 求曲线,在点(4 2 )处的切线方程,解,由公式可知,即切线的斜率为,可得切线方程为,即,因法线的斜率为,故所求法线方程为,即,和法线方程.,16,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理,证,设,在点x处可导,其中,故,函数在点x连续未必可导.,即,存在，因此必有,注意:,17,例如，函数在点处连续,但在处不可导,因为在点处有,而当 时，导数为无穷大，即不可导,这种情况表示曲线在原点具有垂直于X轴的切线,证明,18,因为在,在原点没有切线.,例如,证明,19,五 练习,习题2.1 1, 2(1),3(1)(3),20,六 内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,21,七 作业,习题2.1 2(2),3(2)(4),5,
