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1、第4章 根轨迹法,第4章 根轨迹法,主要内容 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结,第4章 根轨迹法,学习重点 了解根轨迹的基本特性和相关概念； 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则； 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中； 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。,根轨迹意义,概述,线性定常系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以，控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法，设计时可以每调整一次增益求解一次特征方程。 W.R.伊文思提出了根轨迹法。它不直
2、接求解特征方程，而是用图解法来确定系统的闭环特征根。,根轨迹意义,概述,利用根轨迹法，可以： 分析系统的性能 确定系统的结构和参数 校正装置的综合,根轨迹定义：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。,根轨迹定义,例：如图所示二阶系统，,-,特征方程为：,闭环传递函数：,系统开环传递函数为：,特征根为：,4.1 根轨迹的基本概念,根轨迹定义,特征根为：,讨论： 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点, 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6, 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1, 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j,
3、 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j, 当K=时，s1=-1+j,s2=-1-j,根轨迹基本概念,对于一般的反馈控制系统，系统的结构图如下：,-,闭环传递函数为：,开环传递函数为：,根轨迹基本概念,的极点，闭环特征方程的根。,的点就是闭环系统,满足：,闭环特征方程：,将 写成以下标准型，得：,或,传递系数， 或称为根轨迹增益,g,k,-,.,2,1,0,),1,2,(,),(,),(,1,|,),(,|,|,),(,|,1,),(,|,),(,|,),(,1,1,1,1,=,+,=,+,-,+,=,+,+,-,=,=,=,=,=,k,k,p,s,z,s,p,s,z,s,k,s,G,
4、s,G,s,G,n,j,j,m,i,i,n,j,j,m,i,i,g,k,k,k,p,或,是复数，上式可写成：,由于,幅值条件,辐角条件,满足幅值条件和辐角条件的s 值，就是特征方程式的根。,根轨迹的幅值和辐角条件,为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记： 绘制根轨迹-依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的辐角条件，画出的是闭环极点的轨迹。,（1）求出 和 时的特征根,4.2 根轨迹的绘制法则,我们先以根轨迹增益 （当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。,（2）根据绘制法则大致画出 时的根轨迹草图,（3）利用辐角条件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制,绘制根轨迹的一般步骤：,绘制根轨迹图的方
5、法,手工画概略图（草图）,手工图解加计算画准确图,计算机绘制精确图,4.2.1 绘制根轨迹的一般法则 1 起点 时，闭环系统的特征根由下式决定 上式即为开环系统的特征方程式。所以 时，闭环极点也就是开环极点。,根轨迹方程为：,根轨迹的绘制法则,4.2 根轨迹的绘制法则,2. 终点 时，闭环系统的特征根由下式决定 上式表明，当 时，闭环极点也就是开环有限零点。,根轨迹方程为：,今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着 ，它们都趋向无限远（无限零点）。,4.2 根轨迹的绘制法则,3. 根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数与开环极点数相同，也与闭
6、环特征方程根的数目一致。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。,根轨迹方程为：,4 实轴上的根轨迹,j,实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，其中任一段右侧，如果开环零、极点数目的总和为奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,4.2 根轨迹的绘制法则,证明：设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， 为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目， 由辐角条件 整理得,4.2 根轨迹的绘制法则,例如下图所示， 对于A， 对根B， 对根C，,A,B,C,4.2 根轨迹的绘制法则,5分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。
7、在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。,a,b,4.2 根轨迹的绘制法则,分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定,整理得,4.2 根轨迹的绘制法则,说明： 用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。,如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。 如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2 根轨迹的绘制法则,6 根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。 当 nm 时，则有（
8、n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线，由与实轴的夹角和交点来确定。,4.2 根轨迹的绘制法则,无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为 ，即,独立的渐近线只有（n-m）条,（1）渐近线的倾角,代入辐角条件得,即渐近线的倾角为,4.2 根轨迹的绘制法则,当 时， ，即得,（2）渐近线的交点,由幅值条件,4.2 根轨迹的绘制法则,令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点,由于 和 是实数或共轭复数，故 必为实数，因此渐近线交点总在实轴上。,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-3 设开环传递函数为,试确定其根轨迹渐近线。,解 （1
9、）计算渐近线倾角。 因为m=0, n=3, 所以可得渐近线倾角为,4.2 根轨迹的绘制法则,因为 n=3, m=0； 所以渐近线交点为,（2）计算渐近线交点。,4.2 根轨迹的绘制法则,7 根轨迹的出射角和入射角 出射角 ：根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角。 入射角 ：根轨迹某个开环零点的切线与实轴的夹角。,4.2 根轨迹的绘制法则,入射角的计算公式为,计算出射角的公式为,开环有限零点到被测起点的矢量辐角,除被测起点以外，所有开环极点到该点的矢量辐角,开环极点到被测终点矢量的辐角,除被测终点以外，所有开环有限零点到该点矢量的辐角,4.2 根轨迹的绘制法则,8根轨迹与虚轴的交点 根轨
10、迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 。由此可计算对应的临界放大系数 值。 确定交点的方法： （1）把 代入特征方程式； （2）利用劳斯判据。,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-5 设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。,假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中,解 方法（1） 根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为,4.2 根轨迹的绘制法则,则得 亦即 解得： ， ，对应根轨迹的起点； ， ，对应根轨迹与虚轴相交。 交点处的（临界放大系数）为,4.2 根轨迹的绘制法则,方法（2） 用劳斯判据计算交点和临界放大系数,劳斯表,特征方程,劳
11、斯表中某一行元素为零，则表示在复平面内存在一些大小相等符号相反的实跟或共轭虚根。大小相等符号相反的实跟或共轭虚根可由辅助方程求出。辅助方程的阶数总是偶数，并且等于符号相反的实跟或共轭虚根的个数。,4.2 根轨迹的绘制法则,在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即 令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为,4.2 根轨迹的绘制法则,9 根轨迹的走向 如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行 。 说明：把特征方程式改为 是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着 值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。,4.2 根轨迹的绘制法
12、则,根轨迹绘制法则归纳如下： （1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。 （2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括 m 个有限零点和（n-m）个无限零点）。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目与开环极点数相同 ，根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程,4.2 根轨迹的绘制法则,（9）根轨迹走向。 如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。,（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界 值和交点坐标。,根轨迹的
13、概略图主要根据（1）、（2）、（3）、（4）、（8）规则,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2.2 自动控制系统的根轨迹 1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。 它的开环传递函数为,-,（1）有两个开环极点：,（2）有两个开环无限零点,（3）在0和 之间必有根轨迹,（4）分离点,（5）渐近线和交点,4.2 根轨迹的绘制法则,二阶系统的根轨迹图如右图所示。,如果要使得系统的阻尼比为,则从原点作阻尼线0R, 交根轨迹于R（见右图）。,开环放大系数 应为,上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同,4.2 根轨迹的绘制法则,2开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如
14、下图所示。 它的开环传递函数为,4.2 根轨迹的绘制法则,由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：,本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。,时的根轨迹图,4.2 根轨迹的绘制法则,3. 三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。 它的开环传递函数为,在 时，分离点为 和 。因为在 -1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为 。,4.2 根轨迹的绘制法则,当 时，根轨迹与虚轴交点为 对应的根轨迹放大系数为 考虑到 ，于是得临界开 环放大系数为 根轨迹绘于右图。,本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随
15、着 增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。,4.2 根轨迹的绘制法则,4 具有时滞环节的系统 假设, 时滞系统的结构如图所示, 其开环传递函数为,闭环系统的特征方程式为,4.2 根轨迹的绘制法则,假设特征根 ，则满足特征根的幅值和辐角条件为,与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则要有所变化。,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2 根轨迹的绘制法则,（5）分离点与会合点。,（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为,4.2 根轨迹的绘制法则,（7）出射角与入射角。,（8）根轨迹与虚轴交点。,临界根轨迹放大系数,4.2 根轨迹的绘制法则,（9）复平面上的根轨迹。,由辐角条件，假设 得,例4-6 设系统的开环传递函数为,试绘制其根轨迹。,4.2 根轨迹的绘制法则,解 （1）起点 为： , ；其他起点为 ，其渐近线为,（2）终点 为： ，其渐近线同上。,（3）在实轴的 0 -1区间有根轨迹。 （4）分离点位置按式（4-25）计算，得,4.2 根轨迹的绘制法则,由此算得,
