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1、 2020 年高考江苏卷数学真题试卷（含答案） 参考公式： 柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 1,0,1,2, 0,2,3AB ，则AB 2已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是 3已知一组数据4,2 ,3,5,6aa的平均数为 4，则a的值是 4将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 5如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入
2、x的值是 6在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 22 2 10 5 () xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx，则该双曲线的离 心率是 7已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时， 2 3 f xx ，则 8f 的值是 8已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是 9如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm， 高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm. 1 10将函数 sin(32) 4 yx的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 11设an
3、是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和 2 21() n n Snnn N，则 d+q 的值是 12已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是 13在ABC 中，43 =90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC（m 为常数），则 CD 的长度是 14 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 3 (0) 2 P， A， B 是圆 C： 22 1 ()36 2 xy上的两个动点， 满足PAPB， 则PAB 面积的最大值是 二、解答题：本大题共二、解答题：本
4、大题共6小题，共计小题，共计90分，请在分，请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，内作答，解答解答时应写出文字说明、证明过程时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 2 16（本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDA
5、C的值 17 （本小题满分 14 分） 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， OO为铅垂线(O 在 AB 上)经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1 h(米)与 D 到 OO 的距离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 2 h(米)与 F 到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .已知点 B 到 OO的距离为 40 米 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和 E
6、F，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括 端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 2 k(万元)(k0)，问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 3 18（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且 在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求 12 AFF的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆
7、 E 上，记OAB与MAB的面积分别为 S1，S2，若 21 3SS，求点 M 的坐标 19（本小题满分 16 分） 已知关于 x 的函数( ),( )yf x yg x与( )( ,)h xkxb k bR在区间 D 上恒有( )( )( )f xh xg x （1）若 22 2 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( )( )( )(0) xxgkxhkxk Df xxx，求 k 的取值范围； （3）若 422342 ( ) 2( ) (48 ( ) 4 3 0)2 2f xxxg xxh xtt xttt， , 2, 2Dm n ， 求证：7
8、nm 20（本小题满分 16 分） 已知数列 () n an * N的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 4 11 1 11 k kk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a 是“1”数列，求 的值； （2）若数列 n a 是“ 3 2 3 ”数列，且0 n a ，求数列 n a 的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a 为“3”数列，且0 n a ？若存在，求 的取值范 围；若不存在，说明理由 数学数学试题参考答案试题参考答案 一、填空题一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法本
9、题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题 5 分分,共计共计 70 分分. 10,2 23 32 4 1 9 53 6 3 2 74 8 1 3 912 3 2 10 5 24 x 114 12 4 5 1318 5 或 0 1410 5 二、解答题二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推考查空间想象能力和推 理论证能力理论证能力.满分满分 14 分分. 证明：因为,E F分别是 1 ,AC BC的中点，所以 1 EFAB. 又/EF 平面 11 A
10、BC， 1 AB 平面 11 ABC， 所以EF平面 11 ABC. （2）因为 1 BC 平面ABC，AB 平面ABC, 所以 1 BCAB. 又ABAC, 1 BC 平面 11 ABC,AC 平面 1 ABC, 1 ,BCACC 所以AB 平面 1 ABC. 5 又因为AB 平面 1 ABB,所以平面 1 ABC 平面 1 ABB. 16本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查识，考查 运算求解能力运算求解能力.满分满分 14 分分. 解： （1）在ABC中，因为
11、3,2,45acB， 由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 922 32cos455b ， 所以5b. 在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ， 得 52 = sin45sinC ， 所以 5 sin. 5 C （2）在ADC中，因为 4 cos 5 ADC ,所以ADC为钝角， 而180ADCCCAD ,所以C为锐角. 故 2 2 5 cos1 sin, 5 CC则 sin1 tan cos2 C C C . 因为 4 cos 5 ADC ，所以 2 3 sin1cos 5 ADCADC， sin3 tan cos4 ADC ADC ADC . 从而 31 tan()
12、2 42 tantan(180)tan()= 31 1tantan11 1() 42 ADCC ADCADCCADCC ADCC . 17本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数 学知识分析和解决实际问题的能力学知识分析和解决实际问题的能力.满分满分 14 分分. 解： （1）设 1111 ,AA BB CD EF都与MN垂直， 1111 ,A B D F是相应垂足. 由条件知，当40OB 时， 3 1 1 40640160, 800 BB 则 1 160AA
13、 . 由 2 1 160, 40 OA 得80.OA 所以8040120ABOAOB（米）. 6 （2）以O为原点，OO为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）. 设 2 ( ,),(0,40),F x yx则 3 2 1 6 , 800 yxx 3 2 1 1601606 800 EFyxx. 因为80,CE 所以80OCx. 设 1 (80,),D xy则 2 1 1 (80) , 40 yx 所以 22 1 11 160160(80)4 . 4040 CDyxxx 记桥墩CD和EF的总造价为( )f x， 则 32 32 131 ( )= (1606 )(4 ) 800240 13 (
14、160)(040). 80080 f xkxxkxx kxxx 2 333 ( )= (160)(20) 80040800 k fxkxxx x， 令( )=0fx， 得20.x 所以当20 x 时，( )f x取得最小值. 答： （1）桥AB的长度为 120 米； （2）当OE为 20 米时，桥墩CD和EF的总造价最低. 18本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算
15、求解能力.满分满分 16 分分. 解： （1）椭圆 22 :1 43 xy E的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 222 4,3,1abc. 所以 12 AFF的周长为226ac. 7 （2）椭圆E的右准线为4x . 设( ,0),(4, )P xQy， 则( ,0),(4,)OPxQPxy， 2 (4)(2)44,OP QPx xx 在2x 时取等号. 所以OP QP的最小值为4. （3） 因为椭圆 22 :1 43 xy E的左、 右焦点分别为 12 ,F F， 点A在椭圆E上且在第一象限内， 212 AFFF， 则 12 3 ( 1,0),(1,0), (1, ) 2 FFA. 所以直线:3430.ABxy 设( , )M x y，因为 21 3SS，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的 3 倍. 由此得 |343|3 0403| 3 55 xy ， 则34120 xy或3460 xy. 由 22 34120, 1 43 xy xy 得 2 724320 xx，此方程无解； 由 22 3460, 1 43 xy xy 得 2 7
