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1、整式的乘法 目标认知 学习目标： 1掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），能用字母式子 和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 2掌握单项式与单项式，单项式与多项式，多项式与多项式相乘的法则，并能运用它们 进行运算。 重点： 整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。 难点： 字母的广泛含义的理解。 二、知识要点梳理 知识点一： 同底数幂的乘法 要点诠释： 同底数幂相乘，.底数不变，指数相加 用字母表示为：a m a n=am+n （ m 、n 都是正整数） . 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即a m a nap=am+n+p （m 、 n、
2、p 都是正 整数） . 此性质可以逆用，即a m+n =a m a n（m 、n 都是正整数） . 知识点二： 幂的乘方 要点诠释： 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 用字母表示为：（a m ） n=amn . (m 、n 都是正整数 ) 知识点三： 积的乘方 要点诠释： 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 用字母表示为：（ab） n=anbn(n 是正整数 ). 知识点四： 单项式乘以单项式 要点诠释： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘. 对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 知识点五： 单项式乘以多项式 要点诠释： 单项
3、式与多项式相乘，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母 表示为 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 知识点六： 多项式乘以多项式 要点诠释： 多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加 . 用字母表示为（a+b）（ m+n ） =ma+na+mb+nb. 三、规律方法指导 1在学习本节内容时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的 意义 . 2幂的三个运算性质是学习整式乘法的前提条件，单项式乘法是幂的运算性质的一个直 接应用， 单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上，利用分配律 的更复杂的
4、运算. 3在单项式的乘法法则中： 系数相乘，是有理数的乘法运算；相同字母相乘，是同底数幂的乘法运算； 单项式与单项式相乘的结果是单项式，一般确定结果的系数，往往先确定绝对值， 再确定符号 . 4在单项式与多项式相乘时： 单项式乘以多项式的依据是乘法对加法的分配律. 单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数和因式中多项式的项数相同，计 算 时要注意各项的符号. 5在多项式与多项式相乘时： 多项式乘以多项式可以化为单项式乘以多项式或单项式乘以单项式. 多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项 式的项数的积 . 整式的乘法 经典例题透析 类型一：同底数幂的运算
5、1、计算： (1)(-)(-) 2(- ) 3 (2) -a4(-a)3(-a)5 思路点拨： （1）分析： (-) 就是 (-) 1，指数为 1； 底数为 -，不变； 指数相加1+2+3=6； 乘方时先定符号“+”，再计算的 6 次幂（ 2）分析： -a 4 与 (-a) 3 不是同 底 数幂； 可利用 -(-a) 4=-a4 变为同底数幂 总结升华： 同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则，也是整式乘法的主要依据之一。 学习这个法则时应注意以下几个问题： （1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式
6、 或 多项式，如：(2x+y) 2(2x+y)3=(2x+y)5，底数就是一个二项式 (2x+y) 。 （3）指数都是正整数 （4） 这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即a m a nap.=am+n+p+. (m, n, p都是自然数 ) 。 （5）不要与整式加法相混淆。乘法是只要求底数相同则可用法则计算，即底数不变指 数 相加， 如：x 5x4=x5+4=x9；而加法法则要求两个相同 : 底数相同且指数也必须相同， 实际上是幂相同系数相加，如-2x 5+x5=(-2+1)x5=-x5，而 x5+x4 就不能合并。 举一反三： 【变式 1】计算 (x-y) 3(y-x)(y-x
7、)6 【变式 2】计算：x 5xn-3 x 4-3x2xnx4 类型二：幂的乘方运算 2、计算：（ 1）(a 2m ) n （2）(a m+n ) m （3）(-x 2yz3)3 （4）-(ab) 8 思路点拨： （1）：先确定是幂的乘方运算用法则底数 a 不变 ,指数 2m和 n 相乘 （2）：底数a 不变，指数 (m+n) 与 m相乘运用乘法分配律进行指数运算。 （3）：底数有四个因式：(-1), x 2 , y, z 3，分别 3 次方，注意 (-1)3=-1 。 （4）： 8 次幂的底数是ab。“ - ”在括号的外边先计算(ab) 8 再在结果前面 加 上“ - ”号。 总结升华： 幂
8、的乘方(a m ) n=amn ，与积的乘方(ab) n=anbn (1) 幂的乘方，(a m ) n=amn ，(m, n 都为正整数 ) 运用法则时注意以下以几点： 幂的底数a 可以是具体的数也可以是多项式。如(x+y) 23 的底数为 (x+y) ，是一 个多项式，(x+y) 23=(x+y)6 要和同底数幂的乘法法则相区别，不要出现下面的错误。如： (a 3)4=a7; (-a)34=(-a)7; a3a4=a12 (2)积的乘方(ab) n=anbn ，（ n 为正整数）运用法则时注意以下几点： 注意与前二个法则的区别：积的乘方等于将积的每个因式分别乘方（即转化成若 干个幂的乘方），
9、再把所得的幂相乘。 积的乘方可推广到3 个以上因式的积的乘方，如：(-3a 2b)3 如(a1a2 an) m =a1 m a2 m an m 举一反三： 【变式 1】当 ab=，m=5, n=3, 求(a m b m ) n 的值。 【变式 2】若 a 3b2=15，求-5a6b4 的值。 类型三：单项式的乘法 3、计算：(1)(-3a 2b)(- a 2c2) 4c3 (2) -3(a-b) 22(a-b)3 (a-b) 思路点拨： (1) 不要将 b 的这个因式丢掉.(2) 分析： 将(a-b) 看作底数， 仍用单项式乘 法法则来作。 总结升华： 利用乘法交换律和乘法结合律再用同底数幂的
10、乘法法则可完成单项式乘法。 对于法则不要死记硬背，但要注意以下几点： 积的系数等于各单项式的系数的积，应先确定符号后计算绝对值相同字母因数相 乘，是同底数幂的乘法。 要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢 掉。 单项式乘以单项式的结果仍是一个单项式。 字母因式的底也可以是一个多项式，如： -2a(x+y) 24ab2(x+y)3=-8a2b2(x+y)5 单 项 式 乘 法 法 则 对 于 三 个 以 上 的 单 项 式 相 乘 也 适 用 。 例 如 ： ab 2(-2a2b)(-4abc)= a 4b4c 举一反三： 【变式 1】计算(-3 10 6) (
11、-2 104) (-5 105) 【变式 2】计算(1)(3 2)10+(92)5 (2) (23)63+(83)23 类型四：多项式的乘法 4、计算： (1)4ab(3a 2+2 ab1) (2)2x(x 2 xyy 2) 3xy (4x2y)+2y(7x 24xy+y2) (3)(3x 43x2+1)( x 4 + x 22) (4)(3x+1)(x+1) (2x1)(x1) 3x(x2) 2x( 3x) 总结升华： (1) 单项式乘以多项式，必须按照其法则进行。对于混合运算，运算顺序仍然是先乘方， 再乘除，后加减，运算结果要检查，如果有同类项要合并，结果要最简。 (2) 多项式乘以多项式
12、的运算法则，要按照运算法则一步一步来运算，并要做到不“重” 和不“漏”，别出现符号错误，计算结果要最简，便可为解决此类问题扫清障碍。 举一反三： 【变式 1】已知：x 2+x1=0，求 x 32x+4 的值。 整式除法 一、目标认知 学习目标： 1. 同底数幂的除法的运算法则及其应用。 2. 单项式除以单项式的运算法则及其应用。 3. 多项式除以单项式的运算法则及其应用。 重点： 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算 难点： 熟练运用所学法则进行整式的除法。 二、知识要点梳理 知识点一：同底数幂的除法 要点诠释： 同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减” 公式（规定： a
13、0=1（a0）任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于1） 知识点二：单项式除以单项式 要点诠释： 单项式相除，把系数、?同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 知识点三：多项式除以单项式 要点诠释： 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，?再把所得的商相加 三、规律方法指导 1、同底数幂的除法 （1）、同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”而不是“指数相除” （2）、公式中的底数，可以是数、字母、单项式等任意代数式。 （3）、应用同底数幂相除时要与同底数幂乘法和整式加减区别开。 （4）、注意指数为1 时可以省略不写。 2
14、、应用单项式除以单项式时应注意的问题。 （1）、系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数包括 它前面的符号； （2）、被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏。 （3）、要注意运算顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里的，同级运算按从左到 右的顺序进行。 3、多项式除以单项式 （1）思路：多项式除以单项式单项式除以单项式同底数幂相除和系数相除（“” 表示转化） （ 2）注意： 多项式除以单项式时，?所得结果在合并同类项之前的项数与多项式的项数 相同 整式的除法 经典例题透析 类型一：计算 1、下列运算是否正确？对错题指出原因，并加以改正。 总结升华： 同底
15、数幂的除法运算常见的错误是： （1）指数运算混乱；（2）底数确定的不对，出现符号错误；（3）系数计算不准；（4）运 算顺序不对 举一反三： 【变式 1】例 2 若2 m =6，4 n=2，求 22m-2n+2 的值 . 【答案】 分析：逆用同底数幂乘、 除法性质进行计算. 注意a mn =(a m ) n=(an)m ， a m-n=am a n. 类型二：单项式除以单项式 2、计算 (1)(a 2n+2b3c) (2 a nb2) (2)( x-y) 5( y-x) 3 (3)(x 3y2)3( xy) 2 (4)(3 xy 2)2(2 xy) (6x 3y3) 思路点拨： （1）中被除式的
16、系数是1，可按照单项式相除法则计算;(2) 将底数多项式看作 整体， 先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中 最简单的形式），并将结果化到最后；对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则 进行计算 .(1) 先进行乘方，再进行除法运算. (2)先乘方，再自左至右进行乘除法. 总结升华： 从单项式除法的法则看出，单项式除法的实质是将它转化为同底数幂的除法运算，运算 的结果仍是单项式 运用单项式除法的法则进行计算的一般步骤： （1）把系数相除，所得结果作为商的系数； （2）把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； （3）把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式 单项式除以单项式运算常出现常见错误是： （1）忽略符号；（2）遗漏只在一个单项式里出现的字母 举一反三： 【变式 1】已知(-xyz) 2m= x2n+1yn+3z45x2n-1 y n+1z，求 m. 类型三：多项式除以单项式 3、计算： （xy 2）2+3xy3xy-2y2
