《线性代数--总复习研究报告》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数--总复习研究报告（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、总 复 习,第一章 行列式,1、了解行列式的概念；,3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式；,2、掌握行列式的性质和展开定理；,4、掌握几种特殊行列式的计算。,5、会用克莱母(Cramer)法则;,第二章 矩阵,2. 理解逆矩阵的概念, 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件, 理解伴随矩阵的概念, 会求逆矩阵。,3. 掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。,4. 了解分块矩阵及其运算。,1. 理解矩阵的概念, 了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵, 以及它们的性质; 掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。,第三章 向量 线性关系 秩,1. 理解
2、n维向量的概念以及向量的线性运算;,2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念;,3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法;,4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念;,5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算,第五章 线性空间与线性变换,1. 了解向量空间, 子空间, 维数, 基底, 坐标等概念;,2. 了解基变换和坐标变换公式, 会求过渡矩阵;,3. 了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；,5. 了解规范正交基, 正交矩阵的概念, 以及它们的性质.,4. 了解
3、Euclid(欧几里得)空间及内积的概念, 掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;,第六章 矩阵的特征值与特征向量,1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法;,2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质;,3. 了解相似矩阵的概念及性质;,4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.,第七章 二次型,1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理;,2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用配方法化二次型为标准形;,3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法
4、.,典型例题,1. 计算,24页：11 (1), (3), (4), 12,2. (051,2,4)(4分) 设1, 2, 3均为3维列向量, 记矩阵A=(1,2,3), B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93),如果|A|=1, 求|B|.,解法一 |B|=|1+2+3, 1+22+43, 1+32+93|,=|1+2+3, 2+33, 2+53|,=|1+2+3, 2+33, 23|,=2|1+2+3, 2+33, 3|,=2|1+2, 2, 3|,=2|1, 2, 3|,=2|A|=2,B=(1+2+3, 1+22+43, 1+32+93),解法二由于,所以,解 A-1BA
5、=6A+BA,B-AB=6A, A-1B=6E+B, B=6A+AB,B=6(E-A)-1A, 即,49页：10, 11, 12, 18,4.(041,2) 设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 求满足AQ=C的可逆矩阵Q.,解 由已知有: B=AP1,2, C=BP2+3(1),所以有: Q=P1,2P2+3(1),于是， C=AP1,2P2+3(1),解 由于,所以, a=0或a=-10时, 1, 2, 3, 4线性相关.,a=0时, 由于,此时R(A)=1, 1是一个极大线性无关组, 且有,2=21, 3=31, 4=41,a=-10时, 由于,
6、可见, 此时R(A)=3 , 1,2,3是一个极大线性无关组, 且,4=-1-2-3.,64页：6, 7, 12, 15,解 由于方程组的增广矩阵为,可见, 当=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解.,当-4/5, 且-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.,当=-1时, 有,所以, 有R(A)=R(A|b)=2, 方程组有无穷多解, 且通解为,或写成,也可以写成向量形式,解 由于A*0, 所以存在某个Aij0, 于是R(A)n-1.,又由于Ax=b的解不唯一, 故R(A)n. 于是R(A)=n-1.,B,所以, 方程组Ax=0的解空间是1维的. 故应选(
7、B).,78页：5 ; 79页: 9, 1,7*.,117页：2(2) , (3) ; 3(1) , (2) ;,8*.,135页：2(2) , (3) ; 5,行列式的概念,定义 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n级排列。,一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。,其中，ti是比pi大的且排在pi 前面的数的个数,定理 对排列进行一次对换, 改变排列的奇偶性。,定义,行列式的性质,性质1 行列式与其转置行列式相等, 即D=DT。,性质2 行列式可以按行(列)提取公因子.,行列式的性质,性质3 行列式两行
8、(列)互换，行列式变号.,性质4 行列式某两行(列)元素相同, 则行列式为零。,性质5 行列式某两行(列)元素成比例, 则行列式为零。,行列式的性质,性质6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。,行列式的性质,性质7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.,行列式展开定理,. 行列式展开定理: 行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和. 即,. 关于代数余子式的重要性质：,Cramer法则及其应用,. Cramer法则 若D0, 则Ax=b有唯一解: xi=Di /D,. 解判定 Ax=0有非零解|A|=
9、0.,Ax=0只有零解|A|0.,Ax=b有唯一解|A|0.,Ax=b无解|A|=0.,Ax=b有无穷多解|A|=0.,特殊行列式的计算,. 对角行列式, 上(下)三角行列式: 对角线元素乘积,. 二、三阶行列式: 对角线法则,特殊行列式的计算,. Vandermonde行列式,线性运算, 乘法, 转置, 方阵的幂, 方阵的行列式;,|AB|=|A|B|: A, B为同阶方阵.,A+B: A, B为同型矩阵(行和列都相等);,AB: A的列数等于B的行数, ABBA,AB=0推不出A=0或B=0,AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C,矩阵的运算,|kA|=kn|A|, |A+B|A|+|
10、B|,逆 矩 阵,可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.,若AB=E (或BA=E)，则A可逆, 且B=A-1 (A为方阵)。,（） (A-1) -1=A,（） (AT)-1=(A-1)T,（） (kA)-1 =1/k A-1,（） (AB)-1=B-1A-1,逆矩阵的计算:,A可逆|A|0。,（） |A-1| =1/|A|,（） (Ak)-1=(A-1)k A-k,(A+B)-1A-1+B-1,伴 随 矩 阵,|A*|=|A|n-1 (A*)-1=A/|A|=(A-1)* (A可逆时),AA*=A*A=|A|E, A可逆时有A*=|A|A-1,(AT)*=(A*)T (cA)*=cn-1A*,(A
11、B)*=B*A* (Ak)*=(A*)k,(A*)*=|A|n-2A,n=2时有:,初等变换与初等矩阵,初等变换与初等方阵的关系：,初等变换: rirj , kri , rj+kri , cicj , kci , cj+cri,初等矩阵: Pi,j, Pi(k), Pi+j(k),矩阵的等价: A经初等变换变成B，称A与B等价；,P-1i,j=Pi,j, P-1i(k)=Pi(1/k), P-1i+j(k)=Pi+j(-k),分块对角矩阵,分块对角矩阵,分块对角矩阵,设A为n阶方阵, 若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且非零子块都是方阵, 即,则称A为分块对角矩
12、阵, 分块对角矩阵具有性质:,（a） |A|=|A1|A2|As|,（b）,定义 给定向量组: 1, 2, , m , 若存在一组数 k1, k2,km , 使: =k11+k22+ +kmm , 则称向量可由向量组1, 2, , m线性表示, 也称向量是向量组1, 2, , m的线性组合. 称可互相线性表示的两个向量组等价.,向量组的线性表示,向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当线性方程组 x11+x22+xm m=有解.,向量可由向量组1, 2, , m线性表示当且仅当向量组1, 2, , m和1, 2, , m, 有相同的秩.,反之, 线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可
13、由系数矩阵A的列向量组线性表示.,如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B, 则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.,若C=AB, 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示, 而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.,向量组的线性表示,实际上, 由,可得, i=b1i1+b2i2+bmim .,若C=AB, 则矩阵C的行向量组能由矩阵B的行向量组线性表示, 而且矩阵A的各行恰是对应的表示式系数.,如果 , 则向量 能用1, 2,m唯一线性表示. 而且此时有,向量组的线性表示,则表示式为: =a11+a22+amm,这是因为: (1,2,m)x=, 即 =x11+x22+xmm,的解为:
14、x1=a1, x2=a2, , xm=am,如果 , 则向量 能用1, 2,m线性表示, 但表示式不唯一. 设此时有,向量组的线性表示,则表示式为:,=(a1-c1r+1k1- c1mkm-r)1+ +(ar-crr+1k1 - crmkm-r) r +k1r+1 + +km-rm , k1,k2,km-2R,定义 若存在一组不全为零的数k1, k2 , , ks, 使:,k11+k22+ +kss=0,则称向量组1, 2, , s线性相关, 否则称线性无关.,向量组的线性相关性,向量组1,2, ,s线性相关(线性无关)齐次线性方程组 x11+x22+xss=0有非零解(只有零解).,反之,
15、齐次线性方程组 Ax=0有非零解(只有零解) 矩阵A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)s(R(A)=s).,向量组1,2, ,s(s2)线性相关向量组中至少有一个向量 可由其余s-1个向量线性表示.,定理1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.,向量组的线性相关性,定理3 设向量组1, 2, , s线性无关, 而向量组1, 2, , s, 线性相关, 则可由1, 2, , s线性表示, 且表示式唯一.,定理2 设向量组1, 2, , s线性无关, 将每个i增加若干个分量得到的新的加长向量组仍然线性无关.,推论 含有零向量的向量组必线性相关.,推论 线性无关向量组的任一部分组
16、也线性无关.,() 1, 2, ,r线性无关;,() 1, 2, ,r, 线性相关( 是向量组中任一向量).,定义 若向量组T中的某个部分组1, 2, ,r,满足:,则称1, 2, , r是此向量组的一个极大线性无关向量组.,向量组的最大无关组和秩,称r是此向量组的秩, 记为R(T)=r.,矩阵的秩等于行向量组的秩也等于列向量组的秩.,向量组与它的任一极大线性无关组等价.,若列向量组1, 2, r线性无关,则当(1, 2, r)A =0时, 有A=0 (其中A是矩阵).,向量组的最大无关组和秩,推论1 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.,定理 若向量组1, 2,s可由向量组1, 2,t 线性表示，则R1, 2, sR 1, 2,t ,推论3 向量组1, 2, p线性无关, 且可由向量组1, 2,q 线性表示，则pq.,推论2 等价的向量组具有相等的秩,推论4 向量组1, 2, p可由向量组
