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1、,第二章 连续系统的时域分析法,时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。,本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。在引入系统的冲激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分，最后介绍卷积积分的性质。, 2.1 LTI连续系统的响应, 2.2 冲激响应和阶跃响应, 2.3 卷积积分, 2.4 卷积积分的性质,主要内容,2.1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,二、关于0- 和 0+ 初始值,三、零输入响应,四、零状态响应,五、全响应,
2、该方程的全解由齐次解 和特解 组成， 即,齐次解 的函数形式由特征根决定 。,其中,41页表2-1列出了不同特征根所对应的齐次解。,其中 等为待定系数。,例：若 均为单根，则：,不等于特征根,所有的特征根均不等于零,有r重等于零的特征根,等于特征根,等于r重特征根,或,所有的特征根均不等于,其中,41页表2-2列出了不同激励所对应的特解.,求输入 时的全解。,例2.1-1描述某LTI系统的微分方程为（书上40页）,解：（1）齐次解,齐次解是齐次微分方程 的解。特征方程为,查表设 ，代入原方程，得,解得：,确定待定系数：,全解为：,将 代入：,（2）特解,全解：,得:,可见，齐次解的函数形式仅仅
3、依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。特征方程的根称为系统的“固有频率”,它决定了系统自由响应的形式。特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。,例2 .1-2,描述某系统的微分方程为 :(书上42页),求输入 时的全响应。,解：齐次解同上，,设特解为：,将 代入微分方程，得,确定待定系数：,* 一般输入为有始周期信号或阶跃信号且特征根有负实部时，系统全响应可分为暂态响应和稳态响应两部分。,二、关于0- 和0+ 初始值,在系统分析中，我们从系统中直接获得的初始 条件往往是:,它们提供了以往历史的全部信息而与激励无关， 因此，有这样一个问题：,如何从,例题中为
4、确定待定系数所用的初值,如何从 求出 呢？,若有跳变， 时刻的值与 时刻的值不同，应想办法求出跳变量。,若无跳变， 时刻的值与 时刻的值相同；,当系统用微分方程表示时，系统的响应 及其各阶导数在t=0 是否有跳变决定于微分方程右端是否包含 及其各阶导数。,如果微分方程右端不含冲激函数及其各阶导数，响应 及其各阶导数在t=0是连续的，其 值等于 值。,如果微分方程右端含有冲激函数及其各阶导数，响应 或其各阶导数在t=0将有跳变，其跳变量可用冲激函数匹配法求得。,例2.1-3：描述某LTI系统的微分方程为(书44页）,设,冲激函数匹配法的一般步骤：（以二阶系统为例）,（1）将输入代入微分方程。,（
5、2）令： 对其逐次积分，求得 。,（3）将 代入微分方程。根据方程等号两端奇异函数的系数相等，从而求得各个系数a.b,c。,（4）其中 表达式中 前面的系数大小即为 在t=0的跳变量，而 表达式中 前面的系数大小即为 在t=0的跳变量。,三、零输入响应,LTI 系统的完全响应可分为零输入响应和零状态响应。,零输入响应是指激励为零，仅由系统的初始 状态所引起的响应，用 表示。,在零输入条件下，微分方程式右端为零，化为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零输入响应为：,特点：由于输入为零，故初始值：,由给定的初始值，就可确定各待定系数。,解：零输入响应满足：,四、零状态响应,零状态响应是指初始状态为
6、零，仅由激励所 引起的响应，用 表示。 特点：所有的零均为零。,若方程的特征根均为单根,则其零状态响应为：,解：零状态响应满足：,先求 时的初值:,设：,因此零状态响应满足：,通过前面的例题可见，当方程的右端含有激 励的各阶导数时，零状态响应或其导数在t=0处可 能跃变，在求零状态响应的时候比较麻烦。实际 上，利用LTI系统的线性性质和微分特性可避免这 一过程。,则：,求解,又,分别求出,系统的全响应可以分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是：,式中,由 确定,由 确定,由 确定,五、全响应,可见，两种分解方式有明显区别。虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，
7、但二者系数各不相同， 仅由初始状态所决定，而 要由系统的初始状态和激励信号共同来确定。在初始状态为零时，零输入响应为零，但在激励信号的作用下，自由响应并不为零。也就是说系统的自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。,例2.1-7描述某LTI系统的微分方程为 (书上50页）,解：（1）零输入响应,零输入响应,将初始值代入：,特征方程为 ：,由冲激函数匹配法：,设：,所以，零状态响应在 时满足：,齐次解为:,特解为常数3,将 代入得：,零状态响应为:,全响应:,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,本题零状态响应 也可以这样求：,设： 单独作用于系统产生的零状态响应为,满足：,满足：,设
8、：,而：,解题思路：先求出零状态响应(与上例相同），再根据,即可求出零输入响应。,解：零状态响应为,零输入响应为,2.2 冲激响应和阶跃响应,主要内容： 一、冲激响应 二、 阶跃响应,实际上是求两种不同激励情况下的零状态响应。,一、冲激响应,一个LTI系统，当其初始状态为零，输入为单位冲激函数 时所引起的响应，简称为冲激响应。用 表示，即冲激响应是激励为 时的零状态响应。,例2.2-1：设描述二阶LTI系统的微分方程为 求其冲激响应 。,可见,而 在 有跃变,跳变量为1。,解：当 时 ， 满足,确定系数：,微分方程的特征根为 故,而冲激响应的形式与齐次解相同。,则有,如果特征根均为单根，则其冲
9、激响应为,一般而言，1、若n阶微分方程的等号右端只含激 励 ，即若,求冲激响应可分两步（1）选新变量 ，使它满足的微分方程为左端与上式相同，而右端只含 ， 即满足方程,2、若微分方程为,（2）设其冲激响应为 根据系统零状态响应的线性性质和微分性质，可得冲激响应,解：设新变量 它满足方程：,设其冲激响应为 则：,求,由上例得：,二、阶跃响应 一个LTI系统，当其初始状态为零、输入为单位 阶跃函数时所引起的响应，称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应。用g(t)表示。阶跃响应是 时，系统的零状态响应。,1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当 时，系统的零状态响应g(t)满足方程：,由于等号右端只
10、含有 ，故 及其直到 n-1阶导数均连续，即有,2. 若n阶微分方程的等号右端含有激励f(t)及 其各阶导数，根据系统零状态响应的线性性质 和微分性质，可求得阶跃响应 。,冲激响应 与阶跃响应 的关系：,所以,同一系统冲激响应及阶跃响应的关系为:,解：（1）先列系统的微分方程,（2）求阶跃响应,设新变量 它满足方程：,设其阶跃响应为 则：,2.3 卷积积分,主要内容： 一、卷积积分 二、卷积的图示,一、卷积积分,在前面介绍 时,我们定义了这样一个强度为1的窄脉冲 。其作用于系统的零状态响应为,把其分解为一系列宽度为 的窄脉冲，其第 个窄脉冲发生在 时刻，强度为:,当 时,一般而言，若两个函数
11、，积分 称为 的卷 积积分。 用 表示。即,系统的零状态响应等于激励与系统的冲激响应的卷积积分。,二、卷积的图示,第一步：先将 的自变量用 代换， 然后将 反转得 如图。,第二步：将 沿 轴平移 得 。,可见， 的位置随 而变，无论如何， 点所对应的函数值移至 点。,第三步：讨论 的范围并计算积分,卷积结果将随着t的变化而变化。,例2.3-1 求下图所示函数 和 的卷积积分。,解（1）画出 和 的波形。,（2）,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 ,-2 0 2 t ,图
12、2.3-6,t -2 0 2 ,练习：画出下列图形的卷积积分.,解（1）画出 和 的波形。,（2）,（2）,（3）讨论t的范围并计算卷积积分:,（2）,（3）讨论t的范围并计算卷积积分:,思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。,1、两个时限信号的卷积积分结果仍是时限信号，其非零区间宽度为两个时限信号宽度之和。其非零区间起点为两个时限信号非零区间起点之和，非零区间终点为两个时限信号非零区间终点之和。,结论：,2、当两个时限信号均为矩形脉冲时，若二者宽度相同，则卷积波形为三角形；若二者宽度不相同，则卷积波形为梯形。,解法一：图示法（1）,解法一：图示法（2）,显然上
13、式适用于 的区间。,显然上式适用于 的区间。,一般而言，两个函数的卷积是否存在与该函数的性状有关。若二者均为有始的可积函数，那么二者的卷积存在，否则视具体情况而定。,例如：,而 不存在。,几种常用函数的卷积积分列于附录二中。,2.4 卷积积分的性质,一、卷积的代数运算,卷积是一种数学运算,它有许多重要的性质,灵活地运用它们能简化系统分析。以下的分析均假设卷积积分是收敛的。,二、函数与冲激函数的卷积,三、卷积的微分与积分,四、相关函数,证明：,令：,则：,分配律,证明:,结论：并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各个子系统冲激响应之和。,分配律的应用,结合律及其应用：,（证明见书上第67页）,
14、结论：串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各个子系统的冲激响应的卷积。,二、函数与冲激函数的卷积,证明：,推广1：,证明：,推广3,推广4,推广1,推广2,若 得:,例2.4-2 计算下列卷积积分：,解：,上式适用于,实际上利用,推广4,上式适用于,例2.4-3 下页图（a)画出了周期为T的周期性单位冲激 函数序列，可称为梳状函数，它可用符号 表示 （有些文献用combT(t)表示），它可写为： 式中 m为整数 。函数 如图（b)所示，试求 ：,解：,图 2.4-15 T (t )与 fo (t )的卷积,三、卷积的微分与积分,对于任一函数 ，用符号 表示其一阶导数， 用符号 表示一次积分，
15、即,积分：,则其导数：,若,推论：,前提条件：,LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积 积分，利用上面的结论可得：,上式称为杜阿密尔积分。,其物理含义为：LTI系统的零状态响应等于激励的 导数 与系统的阶跃响应 的卷积积分。,例2.4-4 求图示函数 与 的卷积 。,解：解法一:利用卷积的性质,解法二：图示法,解法二：图示法,解法二：图示法,解法二：图示法,解法二：图示法,解法二：图示法,解法三：表达式法,有时，已知所要构成的系统的冲激响应，要求用 框图来构成系统，那么我们就要知道一些基本单元 的冲激响应。,系统综合初步:,例2.4-5 下图(a)所示的复合系统由三个子系统构成，已 知各子系统的冲激响应 、 如图（b)所示。 （1）求复合系统的冲激响应 ，画出它的波形。 （2）用积分器、加法器和延时器构成子系统
