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1、第四章,(向量代数与)空间解析几何,前言 向量代数(补充内容) 第一节 平面与直线 第二节 简单的二次曲面,简单的二次曲面结构图,本节内容：,一、曲面与方程（包括柱面方程）,二、空间曲线,三、旋转曲面,四、二次曲面,一、曲面及其方程,一般地,如果曲面S与三元方程存在如下关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0. (2)不在曲面S上的点不满足方程. 那么F(x,y,z)=0称为曲面S的方程,而曲面S称为方程的图形.,1.曲面方程及其图形,曲面方程,曲面方程,P119 例13 确定球面方程的球心与半径。,2.柱面,定义 设给定一条直线L,则平行于L且沿曲线C移动的直线L所形
2、成的曲面叫柱面. 定曲线C 叫柱面的准线,动直线L叫作柱面的母线.,如果柱面的准线是xOy面上的曲线C,其方程为f(x,y)=0,柱面的母线平行于z轴,则方程f(x,y)=0就是这柱面的方程.,在此柱面上任取一点M(x,y,z),过点M作直线平行于z轴,此直线与xOy面相交于点M0(x,y,0), 点M0就是点M在xOy面上的投影,于是点M0必落在准线上,它在xOy面上的坐标(x,y)必满足f(x,y)=0，这个方程不含z的项，所以点M的坐标(x,y,z)也满足方程f(x,y)= 0.因此,在空间坐标系中,方程f(x,y)=0,所表示的图形就是平行于z轴的柱面。,同理可知,只含y,z而不含x的
3、方程f(y,z)= 0和只含x,z而不含y的方程f(x,z)= 0,分别表示平行于x轴和y轴的柱面.,母线平行于坐标轴的柱面,在空间直角坐标系oxyz下含两个变量的二次方程即为柱面方程.其名称根据此二次方程在所含变量平面上的曲线形状而定。缺哪个变量，母线就平行于哪 个坐标。,母线平行于坐标轴的柱面,二、空间曲线,如果两个曲面的方程为F1(x,y,z)=0和F2(x,y,z)= 0,则它们的交线C上的点同时在两个曲面上,其坐标必须同时满足这两个方程.反之,满足这两个方程的点也一定在这两曲面的交线上.,1.空间曲线的一般方程,2.空间曲线在坐标面上的投影,设空间曲线的方程为,作曲线C在xOy面上的
4、投影时,要通过曲线C上的每一点作xOy面的垂线,这就相当于作一个母线平行于z轴且通过曲线C的柱面,这柱面与xOy面的交线就是曲线C在xOy面上的投影曲线,所以关键在求该柱面的方程.,从原方程中消去z而得到F(x,y)=0.,该方程表示一个母线平行于z轴的柱面,此柱面 必包含C曲线,所以它是一个以曲线C为准线,母线 平行于z轴的柱面,叫做曲线关于xOy面的投影柱面, 简称投影,曲线C在xOy面的投影曲线方程为,三、旋转曲面,一平面曲线C绕着该平面内一定直线L旋转一周 所形成的曲面叫做旋转曲面.曲线C叫做旋转曲面的 母线,直线L叫做旋转曲面的轴.,设在yOz面上有一已知曲线C:F(x,y,z)=0
5、,将这曲线绕z轴旋转一周,就可以得到一个以z为轴的旋转曲面,求其方程.如图,例5 求yOz面上的直线z=ky绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程.,旋转曲面方程,四、二次曲面,在空间直角坐标系中,方程F(x,y,z)=0一般代表曲面,若F(x,y,z)= 0为一次方程,则它代表一次曲面,即平面.若F(x,y,z)= 0为二次方程,则它所表示的曲面称为二次曲面.,可以利用坐标面或平行于坐标面的平面与曲线相截,通过考察其交线的方法,去了解曲面的形状,然后加以综合,从而了解整个曲面的形状.这叫做截痕法.,1.椭球面,1.椭球面,2.双曲面,(1)单叶双曲面,(2)双叶双曲面,3.抛物面,(2)双曲抛物面,课堂练习,母线平行于Z轴（或者说以Z轴为轴）的圆柱面,以yox平面的直线y=x绕Z轴旋转的旋转面-圆锥面,以Z轴为旋转轴的旋转抛物面,母线平行于x轴的抛物柱面,以原点为中心的椭球面,以点（1,-1,0）为球心，以1为半径的球面,课堂练习,A 两个平面 B 双曲柱面 C 椭圆柱面 D 圆柱面,A,A 球面 B 旋转抛物面 C 圆锥面 D 圆柱面,C,A 椭球面 B 柱面 C 圆锥面 D 抛物面,D,B,做书本上的作业：07级学生做杨和稳教材P192自测题七 08级学生方鸿珠教材P146自测题五,再见！,课外作业：,做练习本的作业：教材P120 同步练习二,
