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1、5 控制系统稳定性分析,5.1系统稳定性的基本概念,5.2系统稳定的充要条件,5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz 判据）,5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）,5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性,5.6由伯德图判断系统的稳定性,5.7控制系统的相对稳定性,5.1系统稳定性的基本概念,1. 单摆,2. 闭环控制系统的稳定性问题 定义,系统受扰动后能否恢复原来的状态,5.2 系统稳定的充要条件,N(s)到Xo(s)的传递函数：,设n(t)为单位脉冲函数，,n(t)为输入时，系统输出为：,如果系统稳定，应有,即,系统输出的时域表达式:,为系统闭环特征方程式的根的实
2、部,控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点， 故也可以说充要条件为 极点全部在s平面的左半面,为系统的特征根,基于方程式的根与系数的关系,5.3 代数稳定性判据,设系统特征方程为,复数根与系数的关系：,（2）特征方程的各项系数的符号都相同。,（1）特征方程的各项系数 (i=0，1，2，n) 。,要使全部特征根均具有负实部，必须满足：,一般取正值，则上述两条件简化为,必要条件！,充要条件： 如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。 劳斯阵列：,其中,实部为正的特征根数 劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,例: 设控制系统的特征方程式为
3、试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,劳斯阵列第一列中 系数符号全为正， 所以控制系统稳定。,解： 首先由方程系数可知满足稳定的必要条件（系数均大于0）。,其次，排劳斯阵列,例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列,第一列系数改变符号2次， 闭环系统的根中有2个实部为正， 控制系统不稳定。,二阶系统特征式为 ，劳斯表为,故二阶系统稳定的充要条件是,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可简化：,三阶系统特征式为 ，劳斯表:,故三阶系统稳定的充要条件是,例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。
4、,解：系统闭环传递函数为,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件， 可知使系统稳定须满足,故使系统稳定的K值范围为,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,符号改变2次， 2个正实根。,无正实根，有虚根。,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,临界稳定,nn行列式：,赫尔维茨稳定性判据,系统稳定的充要条件： 各阶主子行列式均 0 即：,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。,解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。 各系数排成行列式,由于,故该系统稳定。,代数稳定性判据使用的多项式 是系统闭环特征
5、多项式。,例：一个反馈控制系统的特征方程为 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0, 试确定使该闭环系统稳定的K值。,劳斯判据的不足：,定性较难从量上判断系统的稳定程度,必须知道系统的闭环传递函数,Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性,对含有延迟环节的系统无效,1.,a 为复数,C 为顺时针方向,5.4乃奎斯特稳定性判据,如果 C 包围 a ，则 C 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。,2.,如果 C 包围 a ，则 C 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。,C包围z个零点，C绕原点,顺时针绕原点1圈，角度增量,顺时针z
6、圈,C包围1个极点，C 逆时针绕原点1圈,C包围p个极点，C绕原点,逆时针p圈,F(s)有m个零点，n个极点， 在s平面上的C顺时针包围了其中z个零点和p个极点，,映射定理,z p圈。,则在F平面上的C顺时针包围原点,反馈控制系统,开环传递函数,闭环传递函数,闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0,逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数,F(s)包围原点的圈数 = F (s)包围-1点的圈数,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线， 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数， 则系统稳定。,充要条件,右极点数：0 逆时针包围圈数：0
7、稳定,右极点数：0 逆时针包围圈数：0 稳定,右极点数：1 逆时针包围圈数：1 稳定,例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?,K1，稳定。,例:某反馈控制系统开环传递函数为,判断当K=10和40时的稳定性,如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，,开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)，稳定,开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈，稳定,从原点右边绕，开环右极点个数为0；乃氏图顺时针包围(-1,j0) 1 圈，不稳定,例：某系统开环传递函数为,从原点右边绕，,顺时针2圈，不稳定,延时环节串联在前向通道,K满足什么条件时系统闭环稳定？,5.5应用乃奎斯特判据分析 延时系统的稳
8、定性,0+,0-,例如：,稳定条件：,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线， 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数， 则系统稳定。,(1) 开环右极点个数如何判断？,劳斯判据,(2) 开环在虚轴上有零极点？,绕道,(3) 开环无右极点不包围,(4) 乃氏判据也适用于有延时环节的情况,延时环节并联在前向通道,例：下图所示为机床（如镗床，铣床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚性低，常易产生振动，下面分析其动态特性。,P（t）切削力； y（t）主轴前端刀具处因切削力产生 的变形量； D 主轴系统的当量粘性系数； 主轴系统的当量
9、刚度。,1机床主轴系统的传递函数 将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部，令,主轴端部的运动微分方程为,其传递函数为,2切削过程的传递函数 若工件名义进给量为 ，由于主轴的变形，实际进给量为u（t），于是,U（s）=Uo（s）-Y（s）,若主轴转速为n，刀具为单齿，则刀具每转一周需要时间 。 刀具在每转动一周中切削的实际厚度为u（t）-u（t-） 。,令kc为切削阻力系数（它表示切削力与切削厚度之比），则,其闭环系统的特征方程为,则 ，即,令,这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围（-1，j0）点的问题归结为 Gm（j）的极坐标轨迹是否包围Gc(j）的极坐标轨迹的问题。 下面分别作出
10、Gm（j）和Gc(j）的极坐标轨迹。,曲线,曲线,1若Gm（j）不包围Gc(j），即 Gm（j）与Gc(j）不相交，如曲线，则系统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是Gm（j）中的最小负实部的绝对值小于 。,无论提高主轴的刚度km，还是减少kc(切削阻力系数），都可提高稳定性，但对提高稳定性最有利的是增加阻尼。,2若Gm（j）包围Gc(j）一部分，即Gm（j）与Gc(j）相交，如曲线，则系统可能不稳定，但在一定条件下也可稳定。,如果在工作频率下，保证避开的 范围，也就是适当选择系统仍可稳定。所以，在此条件下系统稳定的条件为：选择适当的主轴转速n(在单刃铣刀时，1/n)，使Gm（j）不包围点。,单
11、位圆0dB线,5.6 由伯德图判断系统的稳定性,由伯德图判稳定性 设0型或I型系统开环特征方程有 p 个右根，且开环静态放大倍数大于零，如果在所有L()0频率范围内，相频特性曲线()在(-)线上正负穿越之差为p/2次，则闭环系统稳定。,乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限，负穿越; 从第二象限穿越负实轴到第三象限，正穿越。,如果=0时，()= -，乃氏图向第三象限去，半次正穿越， 向第二象限去，半次负穿越。,图（a），已知p0，即开环无右特征根，在L（）0范围内，正负穿越之差为0，系统闭环稳定。,图（b），已知开环传递函数有一个右极点，p=1，在L（）0的频率范围内，半次正穿越，系统闭环稳定。
12、,图（c），已知p2，在L（）0的范围内，正负穿越之差为1-2=-122，系统闭环不稳定。,图（d），已知p2，在L（）0的范围内，正负穿越之差为2-11=22，系统闭环稳定。,如果系统闭环特征根均在s左半平面，且和虚轴有一段距离，则系统有一定的稳定裕量。,用劳斯判据,定性定量,虚轴左移，令z=s+，将s=z-代入系统特征式，得到z的方程式，采用劳斯判据，可知距离虚轴以右是否有根。,5.7控制系统的相对稳定性,例：,令 z = s+1，即s = z 1，代入系统特征式，,即,z的多项式系数无相反符号，劳斯阵列第一列未变号，系统在s=-1以右没有根。,实际4个根为-1, -2, -3, -4,用
13、Nyquist图,如果系统稳定， Nyquist图离 (-1, j0) 越近，,相对稳定性越差。,剪切频率,相位裕量,增益裕量,增益裕量也可用分贝数表示：,例：开环传递函数为,求K=10、100时的相位裕量、幅值裕量。,K=10,作图法 计算法,K=100,作图法 计算法,相关matlab函数,nyquist(s1),s1 = tf(40,0.005 0.15 1 0),s1 = zpk(,0 -10 -20,8000),Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(s1),Warning: The closed-loop system is unstable. In lti.margin at 89 Gm = 7.5000e-001 Pm = -7.5156e+000 Wcg = 1.4142e+001 Wcp = 1.6259e+001,求稳定裕量,Gm增益裕量 Pm相位裕量 Wcg相位-处 的频率 Wcp剪切频率,
