《同济大学微积分第三版课件第二章第十节函数的极值与最大最小值资料教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版课件第二章第十节函数的极值与最大最小值资料教程（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第十节 函数的极值与最大最小值,本节要点,本节引入函数的极值, 并通过函数的一阶及二阶导函,一、函数的极值与求法,二、函数的最大值, 最小值及求法,三、应用,数的符号去讨论函数的极值情况.,一、函数的极值与求法,值得注意的是: 函数的极值是一个局部性的概念.,但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数,在本章的第五节中, 费马定理指出: 如果函数,可导, 并且点 是它的极值点, 那么点 是它的驻点,驻点,是函数的驻点, 但不是极值点.,定理1（第一充分条件）,在点 处的某个去心邻域 内可导;,若 时,时 则 在点 处取极大值;,若 时,若 时, 的符号不变, 则 不是,时 则 在点 处取极小
2、值;,的极值点.,设函数 在点 处连续,而,而,证 仅就进行证明, 其它情况可以相仿地证明. 由函,而在 单调减少. 又函数在点 处连续, 故函,数的单调性判别法, 知函数在 单调增加,数在点 处取极大值.,根据上面的定理, 若函数 在定义域内连续, 除了,求出导函数 进而求出 的全部驻点和不,根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻,在极值点求出相应的函数值, 就得到函数的极值.,某些点外处处可导, 则可以按照下面的步骤求出函数的,极值:,可导点;,近是否变号, 确定该点是否为极值点, 如果是极值点,进一步确定是极大值还是极小值.,例1 求函数,解,当,知函数在 处取极大值; 又当,所以函数
3、在 处取极小值. 注意到,的极值.,即函数的极大值为,极小值为,由判别法,当,极小值,例2 求函数,解 在上节中, 我们知道函数,当 时,的极值.,在,中连续, 在,中可导, 且,是函数的一个极大值; 当,所以,时,当,所以,是函数的一个极小值.,极小值,定理2 （第二充分条件）设函数 在点 的,某个邻域 内有二阶导数, 且,则函数在点 处取极值, 更有: 若 则,证 设,为极小值, 反之为极大值.,由导数的定义:,由极限的保号性知: 存在 当 有,当 有,再由第一充分条件, 知 为极小值.,同理可证 的情况.,例3 求函数,解,令,又,所以: 为极大值, 而 为极小值.,的极值.,例4 做出
4、函数,导函数,及导函数和二阶,的图形, 从,而判断单调区间, 凹凸区间, 极值点和拐点.,例5 求函数,解 注意到函数是偶函数,的单调区间, 凹凸区间, 极值,和对应曲线的拐点.,所以 为极大值, 曲线的拐点为,渐进线,1.水平与垂直渐进线,设曲线 方程 若 则曲线有,若 则曲线有垂直渐进线:,水平渐进线:,例6 设曲线 方程为,故曲线有水平渐进线:,又,故曲线又有垂直渐进线:,垂直渐进线,水平渐进线,例7 设曲线 方程为,所以曲线有两条水平渐进线,因为,水平渐进线,注: 垂直渐进线很多时候出现在分母为零的时候, 但分,母为零时 不一定构成垂直渐进线.,2.斜渐进线,设曲线 方程 若,则曲线有
5、斜渐进线:,例8 设曲线 方程为,故曲线有斜渐进线:,因为,例9 设曲线 方程为,解 因,所以曲线有水平渐进线,又:,所以曲线有垂直渐进线:,求渐进线.,例10 设曲线方程为,则曲线的渐进线,有 根.,而曲线没有斜渐进线, 所以该曲线的渐进线根数为3.,函数作图,问题 设曲线 方程 作出函数的图形.,确定函数的定义域;,求出函数的一阶和二阶导数: ;,求出一阶和二阶导函数的零点及导数不存在的点;,划分区间, 确定在每个区间上函数的单调性和凹凸性;,求出渐进线;,求出极值和拐点;,描绘出函数的大致图形.,例11 作出函数,解 函数的定义域为 在定义域内, 有,相应的区间为,的大致图形.,斜渐进线
6、:,垂直渐进线:,例 做出函数,的大致图形.,二、最大值与最小值问题,在上一目中我们讨论了函数的极值及求法, 在这一目,中我们讨论函数在区间中的最大值和最小值及相应的求,法. 由闭区间上连续函数的最大值和最小值定理, 我们,知道若函数在闭区间 上连续, 则函数一定可以取到,相应的最大值和最小值, 但并没有给出具体的方法. 这,里我们给出在一定的条件下求最大值和最小值的方法.,设函数 在区间 上连续, 除了有限个点之外,点和驻点为 函数 在区间 上,的最大值和最小值分别为 则,函数可导, 并且只有有限个驻点. 进一步地设这些不可导,例12 求函数 在区间 上的最值.,解 显然函数 在所给区间上连
7、续, 可导. 又,所以 即函数在区间有唯一的驻点.,因,由此得到,所以,例13 求函数 在区间 上的最大值,解 显然函数 在所给区间上连续. 又,即在 内， 是驻点， 是不可导点，,和最小值.,故 是最小值, 是最大值.,例14 将边长为 的正三角形剪去三个全等的四边形（如,解 盒子的高为,底面面积为,图所示）,当图中的 取何值时, 该盒子的容积最大？,然后将其折起, 做成一个无盖的正三棱柱盒子,故相应的体积为,求导后并令其为零, 得,所以,再注意到,即函数在该点取极大值, 又因驻点唯一, 故该点一定是,最大值点.,例15 求椭圆 中内接的最大矩形, 并求相应,的面积.,解 设内接矩形的顶点在
8、第一象限的坐标为 则,相应的面积为,令,则,由,故最大矩形的最大面积为,例16 设足球门宽为4 在离右门柱6 处, 一球员沿,解 设问题如图所示, 张角为 则 又,则,垂直于底线的方向垂直向前, 问他在离底线多远时可获,得的张角最大.,令: 则,由 即当运动员离底线 时,运动员所获得的张角为最大.,例17 设 是两个正数, 满足条件,的最大值, 其中,解 设,在开区间 中间的最大值. 求导后得,可知 是函数 在区间 内唯一的驻,是常数）, 求,（,由题意, 需求,点. 显然当,内单调减少, 因而 是函数 在区间,所以函数在区间,内的最大值. 此时,而当,内单调增加, 在,通过这题的解题, 我们
9、看到, 更一般的情况是:,设函数 在区间 （开或闭, 有限或无限）内连,续、可导（或至多在 处不可导）, 为 在 内, 若 时, 而 时,则 为 在区间 内的最小值., 若 时, 而 时,则 为 在区间 内的最大值.,的一个驻点（或不可导点）.,具有上述性质的函数在区间 内只有一个“峰”或则一,个“谷”, 这类函数在极值问题的讨论中经常出现.,例18 建造一个容积为 的无盖圆柱形发酵池,解 设圆柱体的底半径为 高为 则面积为,故总费用为,由已知条件:,已知池底每平方米造价为30元, 池壁每平方米造价为20,元, 问应该如何设计, 能使总费用为最低?,代入上式得:,所以,令其为零, 得,又,即函
10、数在该点取极小值.,也就是当,相应的造价为最小.,例19 光的折射定律 设在 轴的上下两侧有两种不同,别为 又设点 在内, 点 在内, 要使光线从点,到点 传播的时间最短, 问光线应该通过怎样的路径?,解 如右图所示, 设点 到 轴的距离分别为,的长度为,轴的交点）, 由于在同一介质中,的介质和, 光在介质和介质之间的传播速度分,的长度为 （ 为光径路线与,光径的最速路线为直线, 因此光线,从 到 的传播路径必为折线 其所需要的总时间,下面确定 满足什么条件时, 取得最小值. 为此,先求 的导数:,由于,由此可知函数 在 中的零点必为函数 的极,知 在 上有唯一的零点 所以 必是,在 上的极小值点 从而是 在 上的最小值,小值点, 而又由于 在 上连续, 及,点, 又由于 必须满足 即,记 则有,其中 分别是光线的入射角和反射角, 这就是著名的,折射定律. 特别地, 当 时, 有,
