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1、学案11 导数及其运算,考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,1.导数的几何意义是高考考查的重点内容,常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中. 2.导数的运算每年必考,一般不单独考查,在考查导数应用的同时考查导数的运算.,返回目录,返回目录,1.函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率 一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1-x0,y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0),则 当x0时,商 称作函数y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变
2、化率.,返回目录,2.函数f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 称 为f(x)在x=x0处的导数,并记作f(x0),即 =f(x0). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)过点(x0,f(x0)的切线的斜率等于 .相应地,切线方程为 . 3.函数f(x)的导函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f(x).于是,在区间(a,b)内, 构 成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为
3、.,y-f(x0)=f(x0)(x-x0),f(x0),f(x),f(x)(或y,yx),返回目录,4.基本初等函数的导数公式,0,nxn-1,x-1,axlna,ex,cosx,-sinx,5.导数运算法则 (1)(f(x)g(x)= ; (2)f(x)g(x)= ,Cf(x)= ; (3) （g(x) 0） 6.复合函数的导数 当y=f(u(x)是x的复合函数时,y= = = .,返回目录,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),Cf(x),yuux,返回目录,考点1 导数的定义,用定义法求下列函数的导数. (1)y=x2; (2)y= .,【分析】先求 ，再求其x0时的极限
4、.,返回目录,【解析】 (1) = = =2x+x, y=lim =lim(2x+x)=2x. (2)y= =- , =-4 , lim =lim -4 = .,x0,x0,x0,x0,返回目录,利用导数定义求函数的导数应分三步：求函数增量y;求平均变化率 ;求极限lim .,x0,返回目录,用定义求函数y=f(x)= 在x=1处的导数.,返回目录,【解析】y=f(1+x)-f(1),返回目录,考点2 求简单函数的导数,求下列各函数的导数:,返回目录,【分析】利用常见函数的导数及求导法则.,【 解析】(1),返回目录,(2)当x0时，y=lnx, y= ; 当x0时，y=ln(-x), y=(
5、 )(-1)= . y= .,返回目录,(3) (4) y=(3xex)-(2x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x)+0 =3xln3ex+3xex-2xln2 =(3e)xln3e-2xln2.,(5) y= = = . (6) y=(xcosx)-(sinx) =cosx-xsinx-cosx=-xsinx,返回目录,熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算，注意运算中公式使用的合理性及准确性.,返回目录,（1）y=x2sinx; （2）y= . （3）y=cos(2x2+1); （4）y=ln(x+ ).,【解析】（1）y=(x2)sinx+x2(
6、sinx) =2xsinx+x2cosx. （2）y= = = .,返回目录,（3）y=-sin(2x2+1)(2x2+1) =-4xsin(2x2+1). （4）y=,返回目录,求下列函数的导数: (1)y=sin(2x+ ); (2)y=log2(2x2+3x+1).,【分析】形如f(ax+b)型函数的导数,可用复合函数的求导法则.,返回目录,考点3 求复合函数的导数,【解析】 (1)解法一:设y=sinu,u=2x+ , 则yx=yuux=cosu2 =2cos(2x+ ). 解法二:y=cos(2x+ )(2x+ ) =2cos(2x+ ).,返回目录,返回目录,(2)解法一:设y=l
7、og2u,u=2x2+3x+1, 则yx=yuux= log2e(4x+3) = (4x+3) = log2e. 解法二:y=log2(2x2+3x+1) = (2x2+3x+1) = (4x+3) = log2e.,求形如f(ax+b)型复合函数的导数,一般要利用求导法则求导,将问题转化为基本函数的导数解决,具体地: (1)要分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量. (2)分步计算中每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别需要注意中间变量的系数. (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数. (4)对较复杂的函数,要先化
8、简再求导以简化运算过程.,返回目录,返回目录,求下列函数的导数: (1)y= ; (2)y=sin2(2x+ ); (3)y=x .,(1)设u=1-3x,y=u-4. 则yx=yuux=-4u-5(-3)= . (2)设y=u2,u=sinv,v=2x+ , 则yx=yuuvvx=2ucosv2 =4sin(2x+ )cos(2x+ )=2sin(4x+ ). (3)y=(x )=x +x( ) = + = .,返回目录,返回目录,2009年高考江西卷设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处切线的斜率
9、为( ) A.4 B. C.2 D. 【分析】利用导数的几何意义解题. 【解析】由条件知g(1)=2,又f(x)=g(x)+x2=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=2+2=4. 故应选A.,考点4 导数的几何意义,返回目录,曲线在某点处切线的斜率即为该点处的导数.,已知曲线C：y=x3-3x2+2x，直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x00),求直线l的方程及切点坐标.,返回目录,返回目录,直线l过原点,则k= (x00). 由点(x0,y0)在曲线C上, 得y0= -3 +2x0, = -3x0+2. y=3x2-6x+2,k=3 -6x0+2. 又k= ,2 -6x0+
10、2= = -3x0+2, 整理得2 -3x0=0. x00,x0= , 此时y0=- ,k=- , 因此直线l的方程为y=- x, 切点坐标为( ,- ).,1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f(x0)与(f(x0)是不一样的,f(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0)=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.,返回目录,返回目录,3.复合函数的求导方法 求复合函数的导数,一般是运用复合函数的求导法则,将问题转化为基本函数的导数解决. (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的,适当选定中间的变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量的关系. (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数. (4)复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程.,祝同学们学习上天天有进步！,
