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1、湖南省长沙一中高三上学期第五次月考理科数学一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1设全集U = R，集合M = x | x1，N = x | | x |1，则下列关系正确的是（ ）AM = PBM NCN MD(CUM)N = 【答案】B2等差数列中，若a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 20，则a3 = （ ）A4B5C6D7【解析】由等差数列的性质将已知等式化为5a3 = 20，a3 = 4，选A3已知向量= (3，4)，= (sin，cos)，若，则tan= （ ）ABCD【答案】A4若函数f (x) = 的值域是 1，1，则f 1 (x)的值域是（ ）A
2、1，1B，C，2D（，2，+）【解析】即求原函数的定义域，由 11x，选B5已知两条不同轴直线l1和l2及平面，则直线l1l2的一个充分条件是（ ）Al1且l2Bl1、l2和平面所成角相等Cl1且l2 Dl1且l2【答案】D6若点P到定点（0，10）与到定直线y =的距离之比是，则点P的轨迹方程是（ ）ABCD【解析】根据双曲线的定义知，P点的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，选D7若A、B、C为ABC的三个内角，且ABC (C)则下列结论中正确的是（ A ）AsinAsinCBcotAcotCCtanAtanCDcosAcosC【解析】AC ac 1 sinCsinA8设A、B、C、D是空间四个不
3、同的点，在下列命题中，不正确的是（ ）ABCDMA若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若AB = AC，DB = DC，则AD = BCD若AB = AC，DB = DC，则ADBC【解析】A、B都正确，在D中，取BC中点M，易证BC平面AMD，BCAB ，选C9设a0，b0，且a2 + b2 = a + b，则a + b的最大值是（ ）A B C2 D1【解析】C 2ab a + b = a2 + b2 = (a + b)2 2ab (a + b)2 即 (a + b)2 2 (a + b) 又a0，b0 a + b0 a + b2 选CABC
4、DD1C1B1A1MNO10在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（ ）A与AC、MN均垂直相交B与AC垂直，与MN不垂直C与MN垂直，与AC不垂直D与MN，AC均不垂直【解析】由三垂定理可证OMAC，由勾股定理逆定理可证OMMN，选A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11若直线ax + y 1 = 0与直线4x + (a 5) y 2 = 0垂直，则实数a的值等于 1 【解析】由已知4a + 1(a 5) = 0 a = 112设函数f (x) = a |x| (a0且a1)若f (2) = 4，
5、则a = ，f (2)与f (1)的大小关系是 f (2) f (1) 【解析】由f (2) = a 2 = 4，解得a = ，f (x) = 2|x| f (2) = 42 = f (1)13不查表求值= 【解析】原式 = AFDEBC14已知空间四边形ABCD中，AB = CD = 3，E、F分别为BC、AD上的点，且，EF =，则直线AB和CD所成的角的大小是 60 【解析】作FHAB交BD于H，则，HF = AB = 2，在HEF中，EHF的补角60为AB、CD所成角15对任意xR，若关于x的不等式ax2 |x + 1| + 2a0恒成立，则实数a的取值范围是【解析】原不等式化为a恒成
6、立，令f (x) = 则a令t = x + 1则，f (x) = g (t) = 当t = 0时，g (0) = 0；当t0时，当t0时，=，a三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数f (x) = a() + b（1）当a = 1时，求f (x)的单调递减区间；（2）当a0时，f (x)在0，上的值域是2，3，求a，b的值【解析】（1）当a = 1时，f (x) = + b = 2分由2k+得，f (x)的递减区间是（kZ）5分（2）f (x) = ，x0，8分a0， f (x) 的值域是2，3，a + a + b = 2且
7、b = 3a = 1，b = 310分17（本小题满分12分）APD如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC = 90，AB = a， AD = 3a，且ADC = arc sin又PA平面ABCD，PA = a （1）求二面角PCDA的大小；CB（2）求点D到平面PBC的距离BCDGPHA【解析】（1）作AGCD于G，连结PG PA底面BCDA，PGCD (三垂线定理)PGA是二面角PCDA的平面角2分AG = ADsinADC = ，tanPGA = =PGA = arc tan即所求二面角的大小为arc tan6分（2）ADBC AD面PBCAD上任意一点到平面PBC的距离，就是点D到平
8、面PBC的距离作AHPB于HPA面BCDA PABC 又BCAB BC平面PAB BCAH PBBC = B AH平面PBC即AH为A到平面PBC的距离10分PAB为等腰直角三角形AH =a点D到平面PBC的距离为a12分18（本小题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点F是圆x2 + y2 4x + 3 = 0的圆心（1）求抛物线的标准方程；（2）若存在过圆心F的直线l与抛物线及圆顺次交于A、B、C、D，且使|AB|、2|BC|、|CD|yxDABCFOl成等差数列；求直线l的方程【解析】圆方程化为(x 2)2 + y2 = 1，圆心F（2，0）（1）抛物线顶点在原点、焦点为（2，0），1分
9、抛物线标准方程为y2 = 8x3分（2）依题意： |AB| + |CD| = 4|BC| = 8，|AD| = |AB| + |BC| + |CD| = 8 + 2 = 10 当l的斜率不存在时，lx轴，此时|AD| = 2p = 8，不合题意；5分当l的斜率存在时，设l的方程为y = k (x 2)，A (x1，y1)，D (x2，y2)，由消y得= 0 8分x1 + x2 = 由抛物线的定义知|AD| = |AF| + |DF| = x1 + x2 + p =+ 4 = + 8+ 8 = 10解得k = 2l的方程为y = 2（x 2）12分19（本小题满分13分）ABCDQPP用一块长为
10、a，宽为b (ab)的矩形木块，在二面角为 (0)的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面，两边与墙面贴紧，另一边与地面贴紧)，试问怎样围才能使储物仓的容积最大？并求出这个最大值【解析】（1）若使矩形木板长边贴紧地面，即AB = CD = a，AD = BC = b，设PA = x，PB = y，则a2 = x2 + y2 2xy cos2xy 2xy cosxy (当且仅当x = y时取等号) 5分这时容积V1 = (xy sin)b = a2b cot8分（2）若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy 这时容积V2 = (xy sin)a ab2 cot ab0，cot0 V1V
11、212分【答案】当矩形木板的长边紧贴地面，且所围储物仓的底面是以a为底的等腰三角形时，储物仓的容积最大，最大值为a2b cot13分20（本小题13分）已知数列an的前n项和Sn = 2an 32n + 4 (nN*)（1）求数列an的通项公式an；（2）设Tn为数列Sn 4的前n项和，试比较Tn与14的大小【解析】（1）由a1 = S1 = 2a1 32 + 4得a1 = 2，1分由已知，得Sn + 1 Sn = 2 (an + 1 an) (2n + 1 2n) 即an + 1 = 2an + 32n 两边同除以2n + 1得即 数列是以= 1为首项，为公差的等差数列4分= 1 + (n
12、1) 即an = (n )2n，nN*6分（2）Sn 4 = 2an 32n = (3n 4)2nTn = 12 + 222 + 523 + + (3n 4)2n2Tn = 122 + 223 + + (3n 7)2n + (3n 4)2n + 1 得 Tn = 2 + 3(22 + 23 + +2n) (3n 4)2n + 1 = 2 + 3 (3n 4)2n + 1 = 14 + (14 6n)2n 10分 Tn = 14 (14 6n)2n当n = 1，2时，14 6n0 Tn14当n3时，14 6n0 Tn1413分21已知椭圆C：(ab0)的左准线恰为抛物线E：y2 = 16x的准线，直线l：x + 2y 4 = 0与椭圆相切（1）求椭圆C的方程；（2）如果椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，过F的直线与椭圆C交于P、Q两点，直线AP、AQ与椭圆C的右准线分别交于N、M两点，求证：四边形MNPQ的对角线的交点是定点【解析】（1）由题知抛物线y2 = 16x的准线方程为x = 4，这也是椭圆的左准线方程设椭圆的右焦点为F(c，0)，其中c =，则，即a2 = 4c由消去x，得由于直线x + 2y 4 = 0与椭圆C相切，所以即4b2 + a2 16 = 0，所以4(a2 c2) + a2 16 = 0，整理得5a2 4c2 16 = 0
