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1、4 线性方程组的解的结构,一. 齐次线性方程组解的结构,二. 非齐次线性方程组解的结构,线性方程组理论包括:,齐次线性方程组解的结构,1. 解的存在唯一性条件 (上章已解决),2. 求解方法,(1) 初等变换法 (上章),(2) 克拉默法则(第一章, 仅对A为方阵适用),3. 解的结构 (本章),非齐次线性方程组解的结构,(理论意义大于计算意义),一. 齐次线性方程组解的结构,性质1.,(1),写成向量方程:,(2) 的解,称为解向量.,(2),性质2., 记方程(2)的所有解之集为S ,设S 的一个最大无关组为,(),则(2)的通解为,称 () 为齐次方程组(1)的基础解系., 基础解系的求
2、法: 初等变换法,无妨设,(P96),利用通解,利用特解,得等价方程组:,(3),得通解:,即为(1) 的基础解系.,取:,得:,基础解系的另一求法:,定理7.,例1. 求下述齐次线性方程组的基础解系与通解:,由上述讨论可得,由此定理可见:,(1) 当R(A) = n 时,无基础解系.,(2) 当R(A) = r n 时,的基础解系含 n r 个,向量,(P98 例12),解:,得:,令,通解:,得基础解系:,说明: (1) 自由未知量取值不同得不同的基础解系,通解形式也不同(见P99P100),(2) 非自由未知量的选取可灵活掌握. 例如,得:,令,通解:,得基础解系:,(见P100), 定
3、理7 在理论证明中的应用举例,例2.,证: 设,则,即,故,(P101 例13),(据定理7),经验: 看到矩阵关系,想到矩阵方程 A X = O 有解 B,想到齐次方程,定理7,例3.,证明: 矩阵,的行向量组等价,证: “ ” 显然成立.,“ ” 设,则它们也与,设解集 S 的秩为 t ,则,因此,根据P85定理2的推论,证毕,(据定理7),例4.,(P101 例15),证明,证: 设A 为 m n 矩阵,则,则,所以,可见方程组,因此,思路:,证明,同解,二. 非齐次线性方程组解的结构,性质3.,(4),写成向量方程:,(5),性质4.,是(5)的解,推 论:,的通解为,例5. 求解方程
4、组,(P102 例16),提示:,法1. 取,写出通解.,法2.,得等价方程组,再求对应齐次方程组,的基础解系,写出所求通解.,讨论. 给定方程,(1) 已知,其中A 为m4 矩阵, R(A)=3,求其通解.,(2) 已知,求通解.,(3) 当 m = 3 时,能否用 A 的列向量线性表示?,答: 注意到,故 能用 A 的列向量线性表示.,的基础解系含 4 3 = 1个解向量,小结,基础解系, S 的最大无关组,的通解为,通解:,齐次方程通解,非齐次方程特解,作业: P110 P111 22(3); 25; 33; 34 (习题课) 24; 26; 29; 30; 35,26题 改错,备用题,设A为34 矩阵, 秩(A)=2,是方程组,的三个特解, 则它的通解为,分析: 对应齐次方程组基础解系含 个解向量,4 2 = 2,线性无关,
