《幂级数学习教学教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂级数学习教学教案（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第四章 级数,4.2 幂级数,2,函数项级数,复变函数项级数:,部分和: sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z),3,复变函数项级数,在 z0 收敛:,和: s(z0).,在D内处处收敛, 则有 和函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,函数项级数,5,定理(阿贝尔Abel),z0,x,y,O,幂级数,6,证,幂级数,7,幂级数,8,iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数.,幂级数,收敛圆和收敛半径:,利用阿贝尔定理, 可以定出级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种:,对所有的正实数都是收敛的. 这时,
2、 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.,ii) 对所有的正实数都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,9,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,O,a,b,Ca,Cb,x,y,设z= (正实数)时, 级数收敛, z=(正实数)时, 级数发散.,幂级数,10,当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆.,在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛.,对幂级数 来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域.,收敛圆的半径R称为收敛半径
3、. 所以幂级数 的收敛范围是以原点为中心的圆域.,在收敛圆上是否收敛, 则不一定.,幂级数,11,例1 求幂级数,解 级数实际上是等比级数, 部分和为,幂级数,的收敛范围与和函数.,12,幂级数,13,幂级数,14,收敛半径的求法:,幂级数,跟实的情况类似,有比值法和根值法,即,都是与等比级数比较得证(具体略),牢记结果,会用,15,象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设,在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,幂级数,幂级数的运算和性质:,16
4、,幂级数,幂级数的运算和性质:,17,更为重要的是代换(复合)运算:,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,幂级数,幂级数的运算和性质:,18,幂级数,幂级数的运算和性质:,19,O,x,y,a,b,当|z-a|b-a|=R时 级数收敛,20,幂级数,幂级数的运算和性质:,3) 可逐项积分, 即,21,小结,4.2 幂级数,22,函数项级数,复变函数项级数:,部分和: sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z),23,复变函数项级数,在 z0 收敛:,和: s(z0).,在D内处处收敛, 则有 和函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,函数项级数,24,幂级数,25,定理(阿贝尔Abel),z0,x,y,O,幂级数,26,收敛圆.,在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部,级数绝对收敛.,收敛圆的半径R称为收敛半径.,在收敛圆上是否收敛, 则不一定.,幂级数,27,幂级数,28,收敛半径的求法:,幂级数,29,幂级数,幂级数的运算和性质:,30,更为重要的是代换(复合)运算:,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,幂级数,幂级数的运算和性质:,31,幂级数,幂级数的运算和性质:,32,幂级数,幂级数的运算和性质:,3) 可逐项积分, 即,33,本讲结束,谢谢大家!,
