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1、,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,一、隐函数的导数,由,表示的函数 , 称为显函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,即当 x,取某区间内任一值时，总有满足方程的唯一的 y 存在，,此时称 y 是 x 的隐函数.,隐函数的显化：,从方程 F (x, y) = 0 中解出 y 即可.,例如,可确定显函数,但是很多隐函数不能显化 ：例如,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,含导数
2、的方程,问题：隐函数如何求导？,在方程的两边同时关于 x 求导，注意 y 是 x 的函数，得,到一个,，解出 即可。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 已知,求,解: 方程两边对 x 求导得：,整理得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,例4. 已知,求,解: 方程两边对 x 求导得：,整理得：,再两边关于x 求导得：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对数求导法：,两边取对数，再利用隐函数求导 的方法。,例5. 求,的导数 .,解: 两边取对数 ,
3、化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、由参数方程确定的函数的导数,设参数方程,均可导, 且,严格单调，,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,已知,注意 :
4、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,求,解:,例7. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时, 观察员,视线的仰角增加率是多少?,解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为50
6、0 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求当容器内水,例10. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对
7、 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解: 化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,求,提示: 分别用对数微分法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P101 1(2) , (4) ; 3 ; 4; 5 (1) , (3)，（5）; 6 P107 3, 5,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,求其反函数的导数 .,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求,解：,2. 设,方程组两边同时对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
