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1、泰勒级数,右边,是 内的解析函数；,而左边,F(z)在除z=1外的复平面上解析。,在 内，F(z) = f(z)，但F(z)的定义域比f(z) 的定义域要大。,3.4 解析延拓,出现这样的问题：,若f(z)是区域 B 内的解析函数，能否找到一个 在区域 G内解析的解析函数F(z),使得在子区域 B内F(z)= f(z).,这个问题叫作解析延拓。,简单地说，解析延拓就是想办法将解析函数定义域扩大。,G,B,F(z)= f(z),f(z),F(z),从原则上说，可以利用泰勒级数进行解析延拓。,B,f(z),对于给定的解析函数，并非都能将它的解析域 加以扩大。若能将它的解析域加以扩大，那么可以 证明
2、，解析延拓是唯一的。,3.5 洛朗级数展开,一、双边幂级数,负幂项部分,正幂项部分,双边幂级数,同时收敛,收敛,收敛域,收敛半径,收敛域,两收敛域有公共部分,收敛半径,两收敛域无公共部分,则双边幂级数 处处发散;,结论:,常见的特殊圆环域:,(1) 任一幂级数，如果收敛，必在圆域内收敛，且和函数在圆域内解析。 (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。,对于双边幂级数，我们已经知道： 如果双边幂级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。 自然的问题是:在圆环域内解析的函数是否可以能展开成双边幂级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,二、洛朗级数展开定理,定理,设 f(z)
3、 在环形区域 的内部单 值解析，则对环域上任一点z，f(z)可展为幂级数，,(1),其中,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,(2),(1)式称为f(z)的洛朗展开，其右端的级数称为洛朗级数。,证明:,.,将外圆稍稍缩小为 ，,应用复通区域上的柯西公式,内圆稍稍扩大为 ,(3),(3),思路:,将 展成以 z0为中心的幂级数.,对于沿 的积分,(4),.,对于沿 的积分,.,(5),将(4)、(5)代入(1)，则,由复连通区域的柯西定理,所以,其中,其中,C为环域内沿逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。,.,C,某一圆环域内的解析函数 f (z)展开为含有正、负幂项的
4、级数就是 f (z)的Laurent 级数. 且展开式必是唯一的。,注意：,三、洛朗展开与泰勒展开的区别,泰勒级数,洛朗级数,项数,只含有(z-z0)正幂项,可能含有(z-z0)负幂项,收敛域,收敛圆,收敛环,展开中心,必须是函数的 解析点,既可以是函数的 解析点，也可以 是函数的奇点,四、举例,解析函数展开成洛朗级数要明确展开中心 z0、收敛环.,理论上应该有两种方法: 直接法与间接法,(1) 直接展开法,利用定理公式计算系数,然后写出,这种方法只有在找不到更好方法时才用。,根据解析函数 Laurent 级数展开的唯一性,一般可利用熟知的泰勒展开式，通过变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导
5、和积分、分解成最简分式等方法去展开 .,(2) 间接展开法,这一方法成为Laurent 级数展开的常用方法。,解,例1,在 z0=0邻域上的洛朗展开不包含z 的负幂项.,例2,在 的环域上将函数 展为洛 朗级数。,解,注:展开式中出现无限多个负幂次项，但展开中心 z=0本身却不是函数的奇点.,例3,在z0=1的邻域上将函数 展为洛朗级数。,解,把有理分式分解成最简分式,于是,注:展开式中出现-1次幂项.,例4,在z0=0的邻域上把 展开。,解,因为,把 z 换成 1/z，则得,例5,把 在奇点z0=0和z0=1的邻域内分别 展成洛朗级数。,解,在z0=0的邻域,在z0=1的邻域,例6,把 展成
6、下列级数,(1)在 上展成 z 的泰勒级数;(2)在 上展成 z 的洛朗级 数;(3)在 上展成(z+1)的泰勒级 数;(4)在 上展成(z+1)的洛朗级数.,解,(1),(2),(3),(4),* 展开中心相同，由于展开区域不同，展开式也不同。,函数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展,开式,回答：不矛盾 .,Laurent展开式是唯一的.,问题：这与laurent展开式的唯一性是否相矛盾?,注意唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的,(包括Taylor展开式作为其特例).,复数项级数,函数项级数,充 要 条 件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,性 质,收敛半径的计算,Tay
7、lor 级数,Laurent级数,主要内容,必 要 条 件,绝 对 收 敛,收敛条件,条 件 收 敛,重点：,难点：,函数展开成Taylor级数与Laurent级数,函数展开成Laurent级数,3.6 孤立奇点的分类,若函数 f(z) 在某点 z0不可导，则称 z0为f(z)的 奇点。,若函数 f(z)在某点 z0不可导，而在 z0的某个 邻域内除 z0外处处可导，便称 z0为 f(z)的孤立奇点。,若在 z0的无论多么小的邻域内总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0为f(z)的非孤立奇点。,主要部分,解析部分,的系数 叫作函数 f(z)的奇点 z0 的留数。,在挖去孤立奇点z0而
8、形成的环域上的解析函数 f(z)可展为洛朗级数，,(1),根据 f(z) 在孤立奇点 z0 的领域上的洛朗展开 式含负幂项的多少，将孤立奇点分为三类：可去奇 点、极点和本性奇点。,1 可去奇点,如果函数 f(z) 在孤立奇点 z0 领域内的洛朗展 开不含有负幂项，,即,则孤立奇点 z0 称为函数 f(z) 的可去奇点。,(2),据(2),为有限值,(a0也可为0),这可作为可去奇点的判据。,由定义判断:,由极限判断：,若极限 存在且为有限值,如果 f(z) 在孤立奇点 z0 领域内的洛朗 展开无负幂项，则 z0为f(z)的可去奇点.,如上节例1，z0=0是函数 的可去奇点。,在 z0=0邻域上
9、的洛朗展开不包含z 的负幂项.,或,解,无负幂项,另解,虽然 f(z)在可去奇点z0不可导或没有意义，但如 果我们重新定义函数,则,是g(z)在z0的领域上的泰勒级数，z0是g(z)的解析点，不 再是奇点。,如果补充定义:,时,即,2 极点,如果函数 f(z) 在孤立奇点 z0 领域内的洛朗展 开含有有限个负幂项，,即,(3),则孤立奇点 z0 称为函数 f(z) 的极点。,由(3)显然有,这可作为判断极点的依据。,把(3)式含有最低负幂次(-m)的绝对值m称为该极 点的阶。,一阶的极点也简称为单极点.,由定义判别：,如果 f(z) 在孤立奇点 z0 领域内的洛朗 展开含有有限个负幂项，则 z
10、0为f(z)的极点.,如上节例5,z0=0和z0=1是函数 的单极点.,3 本性奇点,如果函数 f(z) 在孤立奇点 z0 领域内的洛朗展 开含有无限多个负幂项 ，,即,(4),则孤立奇点 z0 称为函数 f(z) 的本性奇点。,如上节例3，,含有无穷多个z的负幂项,当z沿正实轴 时,当z沿负实轴 时,综上所述:,奇点名称,可去奇点,m阶极点,本性奇点,不含负幂项,含无限个负幂项,的洛朗级数,极限性质,4 无限远点为孤立奇点的分类,若函数在 z = 的邻域内解析，则称 z = 点是 f(z)的孤立奇点。,无限远点都认为是奇点，如果说f(z)在z=解析， 是指 z = 是 f(z)的可去奇点。,主要部分,解析部分,(5),若此洛朗展开式中没有正幂项，就说函数f(z)在 无限远点是解析的或说z=为f(z)的可去奇点；,若有有限个正幂项，则z=为f(z)的极点，,若有无限个正幂项，则z=为f(z)的本性奇点。,最高幂指数叫作极点的阶；,如果函数f(z)在无限远点的领域 上 是解析的，则可在外半径为的圆环域 上展为洛朗级数,无穷远点为孤立奇点分类:,奇点名称,可去奇点,极点,本性奇点,不含正幂项,含无限个正幂项,含有限个正幂项,的洛朗级数,极限性质,
