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1、10.4 旋转曲面的面积,一 定积分的元素法(或微元法),通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直 线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、 求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并 由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是 确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那 么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？,为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形 面积转化为定积分的计算过程。,(1) 分割：任意划分a,b为n个小区间,相应地把曲边梯形分为n个小曲,边梯形,则曲边梯形的面积为,在上述问题中, 所求量(即面积)A满足：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具
2、有可加性，,3。,一般地,如果所求量分布在某区间a,x上,或者说是区,间端点x的函数,即= (x),xa,b,而(b)正好为最终所求,的值.,如果在任意小区间x,x+x上,能把的微小增量近,似地表示为x的线性形式f(x) x,其中f(x)为某一连续,函数,且当x0时, -f(x)x=o(x),即df(x)dx,那么只要,以上方法称为微元法.,二 旋转曲面的面积,设平面曲线C的方程为y=f(x),xa,b(f(x)0),这一曲线,绕x轴旋转一周得到旋转曲面,如图,通过x轴上的点x与x+x分别作垂直于x轴的平面,它们,在旋转曲面上截下一条狭带.当x很小时,此狭带的面积近,似于一圆台的侧面积,即,其中y=f(x+ x)-f(x).由于,旋转曲面的面积为,所以,故,若光滑曲线C由参数方程x= x(t),y=y(t),t,给出,且,y(t)0,则由弧微分知识推知曲线C绕x轴转所得曲面的面积,若曲线由极坐标方程r= r (q)定义, 0 q ,则旋转曲,曲面的面积,例1 求半径为R的球面面积.,绕x轴旋转而成,于是,例2 求由内摆线,绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积.,解: 由对称性,作业 P255：1，2，3.,三 小结,
