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1、利率期限结构的理论基础,林海 厦门大学金融系,主要内容,随机贴现因子理论 无套利定价理论 风险中性定价理论 随机贴现因子理论是最一般、最广泛适用的理论，无套利定价理论和风险中性定价理论均可以由随机贴现因子理论推导出来。,随机贴现因子理论,基础：基于消费的跨期资本资产定价模型（ ICAPM)。Merton（1973）。 Campbell（2000）通过随机贴现因子对资产定价问题进行了分析和回顾。 Cochrane（2000）将所有的资产定价问题纳入到随机贴现因子的一般框架之中，建立了一个比较完整的随机贴现因子理论体系。,随机贴现因子的定义1.1,如果一个贴现因子，能够满足： 或者用条件期望的形式
2、： 则我们称m或mt+1为随机贴现因子,贴现因子情形1：时间可分,目标函数： 最优化方法：动态规划（dynamic programming)的Bellman方程。 结论：,情形2：时间不可分,结论：,情形3：考虑消费者习惯,消费者的消费有一个习惯水平，消费者的效用来自于现实消费同消费习惯的差距，即 结论：,小结,因此，从一般意义上分析，无论采取什么形式的效用函数，我们都可以找到相应的随机贴现因子对资产定价，只不过在随机贴现因子的具体形式上有所差异。因此，随机贴现因子理论的核心部分就是寻找随机贴现因子。,随机贴现因子的表达方式,收益率： 超额收益率： 股票： 无风险资产： 欧式看涨期权：,定理1
3、.1,利率期限结构代表了随机贴现因子的条件期望。,随机贴现因子和一价定律,定义1.2. 如果未来收益相同的资产具有相同的价格，则我们称一价定律成立。 定理1.2. 一价定律等价于资产组合的价格是资产价格的线性组合。 定理1.3. 如果存在一个随机贴现因子，则一价定律成立。 定理1.4. 如果一价定律成立，则市场上存在一个随机贴现因子能够对资产定价。,随机贴现因子和其他定价模型,从随机贴现因子也可以十分简单地推出贝塔定价模型。 从随机贴现因子理论中，还可以十分容易地推导出均值方差有限前沿理论。 CAPM理论、APT模型等，都可以在上述分析的基础上通过进一步演化得到。因此，总的来说，随机贴现因子理
4、论为资产定价提供了一个最一般、最通用的分析框架。,贝塔定价模型和因素定价模型,贝塔定价模型和因素定价模型在表达式上几乎相同，因此众多研究将二者等同起来，用因素定价模型来替代贝塔定价模型（如Kan and Zhou(1999)），现实中也都用因素模型来对贝塔模型进行估计。 但是二者之间具有本质上的区别。,区别,假设：单因素，市场收益率。 在贝塔模型下， 在因素模型下， 所使用的估计方法也有很大的差异。,区别（2）,对于一个收益率时间序列，贝塔模型将所有的误差都体现在风险价格中，使得风险价格变得相对不稳定；而因素模型则将误差同时分给风险系数和风险价格，因此风险价格就显得相对比较稳定。 总的来说，因
5、素模型是联合求解，而贝塔模型则是单独求解。,因素的非系统变化,对随机贴现因子的质疑主要是认为它可能无法准确判别真正的风险因素，因为可能同时存在着几个变量满足随机贴现因子等式。 变化1： 变化2：,非系统性变化的影响,无论在何种条件下，影响因素的非系统性改变会改变相应的风险价格和风险系数，但是不会改变对风险溢酬的估计。非系统性改变实际上是在不改变风险溢酬的条件下对风险溢酬的两个组成部分，即风险价格和风险系数进行重新分配。,2 无套利定价理论,无套利定价理论建立在一个理论假设前提之上：市场上存在着大量的套利者（arbitrager）不断地在寻求市场上所有可能的套利机会，并不断地利用这个套利机会赚取
6、超过无风险的超额利润，也就是说，所获得的无风险利润超过市场上的无风险利率。 大量的套利行为就会使得不同的资产价格之间可能存在的套利机会迅速消失。,一些基本假设,市场上不存在交易成本，即不存在交易头寸的限制、税收以及交易手续费等。这个假设可以放宽至考虑市场交易成本，并不改变无套利定价的基本结论。 市场上存在一个无风险资产，其价格水平为 B(t)。 市场上有N个资产，在时刻t的价格为： 市场上存在M个不确定性，即在时刻t+1的市场可能状态有M个，其条件真实概率分布用,基本假设（2）,风险证券在时刻t+1的回报为： 为保证市场的完全性， ，也就是说，市场上任意回报特征的资产都可以通过现有的证券进行复
7、制。,几个定义,2.1 如果一个组合在时刻t+1的可能回报可以表示为 则我们称组合 为市场上所有资产的一个线性扩展（linear spanning）。 2.2 如果一个证券能够被市场上的其余资产线性扩展，则我们称该证券是冗余证券（redundant security）。,定义(2),2.3如果市场上所有具有以下两个特征的组合 ： （1） （2）至少有一个 其在时刻t的价格为正数，则我们称市场是无套利的。 该定义的经济含义就是所有具有正回报的资产组合，其价格必须为正。,定理2.1,在无套利的市场条件下，如果两个组合在时刻t+1的回报完全相同，则他们在时刻的价格必须相等。 经济含义是市场无套利意味
8、着市场上的一价定律（law of one price）成立。反之则不一定成立。 衍生产品定价的一个基本思路是，用现有资产去复制衍生产品未来的回报特征。如果能够找到一个现有资产的一个组合，该组合的未来回报和衍生产品完全一致。则可以用该组合的价格来对衍生产品定价。,定理2.2,在一个无套利的市场上，存在一个正的随机贴现因子能够对资产定价。 推论2.1.在真实概率下，任意一个风险资产组合满足：,定理2.3,在一个无套利的市场上，存在另一个概率分布能够满足： 也就是说，只要通过对概率的重新调整，所有资产经过概率调整后的预期收益率全部变为无风险利率。这就是我们在下面要详细分析的风险中性定价原理。,定义2
9、.4,如果一个时间序列满足： 则我们称时间序列为一个鞅过程。 鞅过程指的是根据目前所得的信息对未来某个资产价格的最好预期就是资产的当前价格。 推论2.2. 在新的概率分布条件下，所有资产价格经过无风险利率贴现之后，为一个鞅过程。 定义2.5 新的概率分布成为风险中性概率。,3.风险中性定价,风险中性定价理论是对衍生产品定价的一个最重要的理论，其主要优势就在于它规避了十分复杂而且尚无定论的风险资产的预期收益率的估计问题，而直接利用了一个风险世界的转换，通过该转换，所有资产的预期收益率全部变为无风险利率这个十分简单而且又能在市场上直接找到的变量。 在风险中性中的价格可以适用于任何世界，当然包括现实
10、世界。它最主要的原理是相对定价理论，也就是无套利原理。隐含在这风险中性定价之后更深层次的原理是如果市场是无套利的，市场上存在一个风险价格，这个风险价格对所有的风险资产都适用。因此经过这个风险价格将风险扣除掉之后，所有资产的预期收益率全部为无风险利率，现实世界变为风险中性世界。,风险中性定价的提出：BS模型,定义3.1. 自融资交易策略是指除了初始投资（initial investment）之外，在投资过程中，不追加任何投资，也不从投资中转移资本，只通过资产组合本身所含资产的等额买卖进行资产组合的结构调整。 在连续时间序列条件下，组合价值变动可以表示为：,定义3.2,如果在任意时刻，衍生产品的价
11、值都可以表示为一个自融资交易策略，则我们称自融资交易策略为衍生产品的复制资产组合。 因此，根据无套利原则，衍生产品的当前价格等于自融资交易策略组合的当前价值。 利用自融资交易策略和复制资产组合，我们就可以对衍生产品进行定价。,BS偏微分方程,从BS偏微分方程中可以看出，标的资产的预期收益率不在方程当中，也就是说，我们不需要对标的资产的预期收益率进行估计，可以用任意数值代替，因为它不会对定价结果产生任何的影响。一个最简洁、最方便的方法就是直接假设预期收益率为无风险利率。,风险中性定价的理论依据,假设资产价格服从一个漂移过程： 定理3.1. 在一定条件下，经过一定的概率测度变换， 为在另一个概率下
12、的标准布朗运动,风险中性定价,因此，经过这个等价鞅测度转换之后，资产的预期收益率变为无风险利率，所有的风险溢酬都变为0，这就类似于一个风险中性定价世界。 在风险中性世界中，资产价格经过无风险利率贴现之后是一个鞅过程。它是将无风险资产作为参照物。 当然，我们可以找到另外一个等价鞅测度，使得在那个鞅测度下，所有资产的预期收益率都为某个值。即，该推论可以推广至一般情形。,定理3.2,定理3.2：如果风险中性定价成立，则存在一个唯一的风险价格。 推论3.2.如果相对于现实世界的某个等价鞅测度存在，则相对于那个测度的风险价格唯一。,风险中性定价的应用,风险中性定价理论最大的一个优点就是它避免了对风险资产的预期收益率的估计，而直接通过一个概率测度的转换，用市场上已知的无风险利率替代。它可以应用在对许多资产，尤其是衍生产品的定价中。 定理3.3.4.假设一个资产X的到期回报为X(T)，则其现在的价格可以表示为： 推论3.3.,
