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1、第一节 线性方程组的消元法,第二节 n维向量,第三节 线性相关与线性无关,第四节 向量的秩,第五节 矩阵的秩,第二章 线性方程组与向量,设 k1, k2, , ks R, 1, 2, , s 是 n 维向量，,若 = k1 1+ k22 + + kss，则称 为向量,或称 可由向量组 1, 2, , s 线性表出.,1, 2, , s 的一个线性组合，,第三节 线性相关和线性无关,一、线性表出,1、线性表出,2、例题,例,因为,所以 是 和 的线性组合。,设,例,设,请给出它的一种表达式。,解,即,解此线性方程组，得其一般为：,设,由此可知 可由 线性表出，为了给出一 个表达式，令 则 ，于是
2、有,一般的,可以由 线性表出的充要条件是 下列线性方程组有解：,且表达的方式和解的个数同样多。,二、线性相关和线性无关,1、线性相关和线性无关,对于 n 维向量组 1, 2, , s ，如果存在不全为零,的实数 k1, k2, ,ks 使得：,否则，称1, 2, , s 线性无关。,则称 n 维向量组 1, 2, , s 线性相关；,所谓 1, 2, , s 线性无关，即如果,则必有,k1= k2= = ks= 0。,2、例题,单个非零向量线性无关：事实上，若非零向量 若 则必有 ，所以单个非零向量必线性无关。,例,证明：n维基本向量组线性无关：,例,若 得 由此可知，只有 时 所以基本向量组
3、 线性无关。,证明,一般的,判断向量组 是否线性相关，就要看 齐次线性方程组 是否有 非零解。即,设向量组 线性无关，证明向量组 也线性无关（证明略）。,例,三、性质,1、性质,当 n2 时，向量组 1, 2, , n 线性 相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由 其余向量线性表出。,必要性,证明,k1, k2, , kn ，使k1 1+ k22+ + kn n= 0。,于是,设 1, 2, , n 线性相关，则有不全为零的实数,不妨设 ks 0,性质1,即 n 可由 1, 2, , n1 线性表出.,若某个向量例如 1 可被其余向量线性表出，不放设,于是,其系数 不全为零，故 1, 2,
4、, n 线性相关。,充分性,向量组1, 2, , n 线性无关的充要条件是 向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。,如果向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 可以由向 量组 唯一线性表示。,推论,性质2,先证向量 可由 线性表出，因为 线性相关，故存在不全为零 的数 ，使得,证明,其中必有 ，否则，若 ，上式成为 这与 线性无关相矛盾，因此 故 即 可由 线性表出。,再证表示方法唯一，如果 还可以表示为,则有 由 线性无关，有,即 所以表示方法唯一。,性质3,如果向量组 线性相关，则添加 若干个向量以后得到的新的向量组 也线性相关。,因为向量组 线性相关，则存在一组 不全为0的数
5、，使得,证明,于是有 显然 不全为零，所以向量组 线性相关。,这个定理可以概括为“部分相关，整体必相关”。,如果 是一组线性无关的向量，则从 中任意取出若干个向量都是线性无关的。,推论的结论也可概括为“整体无关，部分必无关”。,推论,设r维向量组 线性无关，则在每个向量上再添上n-r个分量， 得到的n维向量组 也线性无关。,性质4,设存在数 ，使得,证明,即有,在前面n个等式中，前面r个等式表明由于向量组 是线性无关的，所以有 于是上面的方程组只有零解 ， 因此向量组 线性无关。,这个定理可以概括为“线性无关的向量组其加维向量 组也线性无关”。,例如 向量组 线性无关，则向量组 也一定线性无关
6、。,推论,设 是s个r维向量， 是添 加了n-r个分量的n维向量，若 线性 相关，则 必线性相关。,性质5,n个n维向量,线性相关（无关）的充要条件是行列式,n+1个n维向量必线性相关。,性质6,向量组,2、例题,例,1、向量的个数大于向量的维数，所以向量组是 线性相关的； 2、由于向量组中含有零向量，则该向量组是线 性相关的；,3、由于 ，所以 是线性相关的，由 “部分相关，则整体相关”，所以该向量组是线性相 关的。,【复习思考题】 1、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈 你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几 个概念的. 2、叙述证明一个向量组线性无关(或线性)的过程. 3、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量 组的线性相关性否相同?为什么?,
