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1、概率的公理化定义 条件概率 全概率公式,研究随机现象的有效方法，是由已知事件的概率推断出其它 事件的概率，这需要用到概率的运算，前面提到的概率，都是在 某些特定概型下的概率，有局限性。因此，有必要给出概率的一 般定义，从而得到对一般的概型均成立的概率的运算性质。,概率的公理化定义,给定一个随机试验， 是它的样本空间，对于任意一个事件 A，,赋予一个实数 P(A)，如果 P(A) 满足下列三条公理，那么，称,P(A) 为事件 A 的概率。,公理1 非负性：对任意的事件 A ，都有 ；,公理2 规范性：,公理3 可列可加性：当可列个事件 A1 , A2 .两两互斥时,概率在此公理化定义下，有如下运
2、算性质,性质1,性质2（有限可加性）设 A1，A2，.，An两两互斥，则,性质3 若 ，则,一般地，只有,性质4（加法定理）,概率在此公理化定义下，有如下运算性质,推广,（挖补定理）,性质5,性质6,例1 在 10 个球中有两个是一等品，任意取出 5 个，求下列 事件的概率： （1）A：“恰有一个一等品” （2）B：“恰有二个一等品” （3）C：“至少有一个一等品”,解：,或,例2 袋中有16个球，颜色与材料如下表所示,条件概率,现从中任意摸取一个球，若已知摸到的是红球，那么这红球是木质球的概率是多少？,设A、B为同一随机试验的两个事件，且P(A)0,P(B)0，则称,条件概率的定义：,为事件
3、A发生条件下事件B发生的概率。 或称,为事件B发生条件下事件A发生的概率。,条件概率及乘法公式,乘法公式,乘法公式还可以推广至有限个事件的乘积的情形,例3 在一个化妆舞会上，有 20 个男同学，10 个女同学，试问：,其中男同学GG请的第三个舞伴还不是女同学的概率。,解：“请的第三个舞伴还不是女同学”相当于“第一、第二、,第三次请的都是男同学”。,设 表示“第 次请的是男同学”。,则所求事件的概率是：,例4 设口袋里装有 8 个球，5 个红的，3 个白的。先从中随机,取出一球，然后把另一白球放入，再随机抽取一球。,试求以下事件的概率：,A：第一次取的是白球。 B：第二次取的是白球。,解：,去解
4、决问题。,全概率公式,则对任一随机事件 B ，有,（全概率公式）,证明：,定理 设 构成一个完备事件组，且诸,例5 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。求由这些种子所结的麦穗含 50 粒以上,麦粒的概率。,解：设 表示“此种子是第 等的”。,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,则,例6：某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会 门票, 求第二位同学MM抽到门票的概率.,方法一：第二位同学MM抽到门票的概率为,方法二：第二位同学MM抽到门票的概率为,例5* 设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，
5、,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。若某粒种子所结的麦穗含 50 粒以上,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,则,麦粒，问它是一等品的概率是多少？,所求的概率为：,解：设 表示“此种子是第 等的”。,设播种用的麦种由一等、二等、三等、四等的种子混合而成，,四等种子长出的麦穗含 50 粒以上麦粒的概率分别为,。,表示“所结的麦穗含 50 粒以上麦粒”,设 表示“此种子是第 等的”。,在这个问题中,则 称为验前概率，,称为验后概率。,求验后概率的公式,贝叶斯(Bayes)公式,（贝叶斯公式）,证明：,定理 设 构成一个完备事件组，且诸,则对任一概率不为零的随机事件 B ， 有,
