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实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,对坐标的曲线积分,一、问题的提出,求和,近似值,取极限,精确值,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,一代、二换、三定限,曲线积分化成参变量的定积分,代,将 L 的参数方程代入被积函数,换,定限,下限起点参数值,上限终点参数值,特殊情形,(4) 两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元；,例1,解,例2,解,例3,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,四、小结,1、对坐标曲线积分的概念,2、对坐标曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练 习 题,练习题答案,
