《清华数学实验第三章符号计算与微积分教学讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华数学实验第三章符号计算与微积分教学讲义（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、符号计算与微积分,符号表达式及其应用 微分和积分符号计算 台劳展开式符号计算 旋转曲面绘制方法, ,在符号计算中, 符号表达式是主要操作对象. 符号表达式符号变量、运算符、函数、数字组成 在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量.,符号计算又称为计算机代数，以符号形式处理数学表达式，关注准确的计算和公式推导。符号计算不仅用于数学研究，还可以用于工程计算 。1993年MathWorks公司购买Maple的使用权,开发了符号计算工具箱Symbolic Math Toolbox.,syms 符号变量1 符号变量2 ,符号变量创建方法,syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*
2、x); ezplot(f,0,8*pi),例3.2 用符号表达式定义 f(x)= e-0.2xsin0.5x 并绘图.,Name Size Bytes Class f 1x1 168 sym object x 1x1 126 sym object,Whos ,例3.4 用符号计算验证三角恒等式,syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2),y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),练习:分别用simple和simplify对符号
3、表达式 cos(x)2-sin(x)2 进行化简，观察结果,化简符号表达式方法simplify,微积分符号计算,diff(f) 对缺省变量求导数 diff(f,v) 对指定变量 v 求导数 diff(f,v,n) 对指定变量 v 求n阶导数 int(f) 对f表达式的缺省变量求积分 int(f,v) 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) 对f表达式的v变量在a, b 区间求定积分,例3.6 验证求导数公式,(k=1，2，3，4 ),syms x s=diff(sin(x),1)=sin(x+pi/2); diff(sin(x),2)=sin(x+pi); diff(sin(x),
4、3)=sin(x+3*pi/2); diff(sin(x),4)=sin(x+2*pi),s = 1 1 1 1,Name Size Bytes Class s 1x4 32 double array x 1x1 126 sym object,whos ,例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x) 关于x的导数,syms x f=1/(5+4*cos(x) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1),f1 = 4/(5+4*cos(x)2*sin(x),例3.9 计算不定积分,syms x int(exp(a*x)*sin(b*x) g=simplify(ans
5、) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2) diff(g) f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x),例3.11 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕X轴旋转的旋转曲面体积,数据转化为数值数据: double(A) numeric(A),syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,-0.2); f2=subs(f1,b,0.5); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi) double(V),V =pi*(-125/116*exp(-4
6、/5*pi)+125/116) ans = 3.1111,theta=linspace(0,2*pi,20); r=exp(-.2*theta).*sin(0.5*theta); cylinder(r) X,Y,Z=cylinder(r); figure,mesh(Z,X,Y) colormap(0 0 1),注记：旋转曲面的绘图方法如下,例3.12 计算二重积分,syms x y f=x2*sin(y); int(int(f,x,0,1),y,0,pi) ezmesh(f,0,1,0,pi),ans = 2/3,定积分数值计算命令 quad(f, a, b) 例3.14 计算积分上限函数值,
7、f=inline(x.3./(exp(x)-1); q= ; for k=1:5 q=q,quad(f,eps,k); end q,级数求和运算,S=symsum(f，n，a，b),syms k n S=symsum(k,k,1,n)；S1=simple(S) S1 =1/2*n*(n+1) S=symsum(k2,k,1,n);S2=simple(S) S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1),例3.17计算级数,taylor(f,n,x) n-1次麦克劳林多项式展开 taylor(f,n,x,a) a点的n-1次泰勒多项式展开.,例3.21求椭圆积分近似表达式,syms t e2 x
8、 f=sqrt(1-e2*x) F=taylor(f,3,x) g=subs(F,x,cos(t)2) int(g,0,pi/2),ans= 1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e22*pi,定积分近似计算实验,syms e2 t f=sqrt(1-e2*cos(t)2); S1=inline(1/2*pi-1/8*E2*pi-3/128*E22*pi); E2=0.2;P=;Q=;,符号计算 近似计算,for k=1:5 E2=E2+.1; P=P,S1(E2); f1=subs(f,e2,E2); S=int(f1,0,pi/2); Q=Q,double(S); end Q;P,
9、命令格式：dsolve(eq1,con1,x) y的一阶导数 Dy, y的二阶导数 D2y,例3.26 解微分方程,y = dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0) = 0,x) y = 2*x/(2*x2+2),符号解： y(x)= x / (1 + x 2),旋转曲面绘制方法,非负函数 y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以x为对称轴的旋转曲面，方程为,绘制网面需创建三维坐标矩阵,对某一确定的x=t,旋转曲面上对应于过点x=t垂直于X轴的圆,该圆周上所有点的X坐标不变，y和z的坐标则满足圆的方程,f=inline(exp(-0.2*x
10、).*sin(0.5*x); t=(0:20)*pi/10; theta=t;r=f(t); x=t*ones(size(t); y=r*cos(theta); z=r*sin(theta); mesh(x,y,z) colormap(0 0 0) axis off view(-17,54),曲线 绕X轴旋转图形绘制,思考题与练习题,用syms x 定义了符号变量,表达式 Y=exp(-0.2*x)*sin(0.5*x)与一般表达式有何不同,2.定积分符号计算与数值计算有何不同？ 3.旋转曲面的面积计算公式如何构造？ 4.写出曲线 y=f(x)绕y轴旋转的旋转曲面方程 5.下面两个曲面是由同一个平面曲线旋转产生的,这个平面曲线的方程是什么?,
