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1、导数在经济分析中的应用,一、导数的经济意义边际 二、经济中的最值问题 三、函数的相对变化率函数的弹性,边际成本为：,经济学家把函数的导数（函数的变化率）称为该函数的边际值,边际收入为：,边际利润为：,一、导数的经济意义边际,（1）收入(益)最大,（2）利润最大,（3）成本最低,（4）总产量或平均产量最高,（5）征税收益最大,（6）最佳时间选择,（7）存货模型,二、经济中的最值问题,例1,解:,1）当需求量达到1000件时,即当商品价格为625元时，市场需求量可达1000件.,(2)总收益函数为,R=pq,价格p为3.66时，R有最大值,这时，产量为：,但商品以“百件”计量，不能分割，所以q取整
2、数,取q=4(百件),q=5(百件),q=4时,q=5时,所以价格为4千元时，销售400件,总收入16000元，达到最大。,解,例2,平均成本函数为：,A(3000)为最小值,解,例3,征税收益问题：,厂商生产产品，追求最大利润，而政府对产品要征税，希望征税收益最大 设税率为 t即单位产品的税收金额； 产量q；收益R；成本C,征税总收益,税后总成本,税后总利润,解,例4,征税收益,税后总成本,税后总利润,由于获最大利润的条件是：,所以，税后获最大利润的产量是：,征税收益函数为,所以，征税收益最大的税率是：,最大征税收益是：,此时：,此时产品的价格为：,例：商品甲每单位价格10元，涨价1元，商品
3、乙每单位价格1000元，涨价1元，两种商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却不同，商品甲涨了10%，商品乙涨了0.1%。,所以，还需讨论函数的相对改变量与相对改变率弹性,三、函数的相对变化率函数的弹性,一般地，f(x)的弹性函数定义为：,需求弹性为：,弹性的经济意义：,解：,说明当p=3时，价格上涨1%，需求减少0.6%,说明当p=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%,说明当p=5时，价格与需求变动的幅度相同,用需求弹性分析总收益的变化：,总收益函数,(1)若0，R递增，即价格上涨，总收益增加，价格下降，总收益减少。,(2)若 1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时
4、，R0，R递减，即价格上涨，总收益减少，价格下降，总收益增加。,(2)若 =1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时，R=0， R取得最大值。,解：,说明：当 p=6 时，价格上涨，总收益将增加,求价格增长1%，R增长的百分比，即求R对p的弹性：,所以当p=6时，价格上涨1%，总收益约增加0.67%,所以当p=12时总收益最大，最大总收益为72,例7：某商品进价为a(元/件)，根据以往经验，当销售价为b (元/件)时，销售量为c件(a,b,c均为正常数，且b(4/3)a，市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，现决定一次性降价，问当销售价定位多少时，可获最大利润？并求最大利润。,解,设p为降价后的销售价，q为降价后的销售量，L(x) 为总利润，则,所以，利润最大时的价格是：,此时：,最大利润是：,例8 某工厂生产某型号车床，年产量为a台,分若干批生产, 每批生产准备费为b元.设产品均匀投放市场,且上一批用完后立即生产下一批,这种情形按批量的一半收取库存费, 设每年每台收取的库存费为c元, 试写出一年的库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.,解：设批量为x , 库存费与生产准备费的和为P(x),因年产量为a,所以每年生产的批数为,则生产准备费为,库存费为,导数的经济意义：边际,四、小结,函数的相对变化率：弹性,五、作业,P109：6、7、9,
