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1、1,典型例题,体 积,平面曲线的弧长,第二节 定积分在几何学上的应用,第六章 定积分的应用,2,圆柱,圆锥,圆台,一、体 积,旋转体,这直线叫做旋转轴,由一个平面图形绕,这平面内一条直线,旋转一周而成的立体,1. 旋转体的体积,3,旋转体的体积,采用元素法,如果旋转体是由连续曲线,直线,及 x 轴所围成的曲边梯形绕,x 轴旋转一周而成的立体,体积为多少?,取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕 x 轴旋转而,成的薄片的,体积元素,(1),5,解,体积元素,例,取积分变量为x,旋转体的体积：,6,解,两曲线的交点为,绕y轴旋转,例,7,例 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围成
2、一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.,圆锥体的体积公式推导：,解,8,解（1）,则旋转椭球体的体积为,椭球体的体积公式推导：,例 计算由椭圆 所成的图形分别绕x, y 轴旋转而成的旋转体的体积。,9,此题也可利用椭圆的参数方程求解,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,10,解（2）,11,解,例,求摆线,的一拱,与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.,绕 x轴旋转的旋转体体积,变量代换,12,绕 y轴旋转的旋转体体积,可看作平面图OABC,与OBC,分别绕 y轴旋转构成的旋转体的体积之差.,摆线,1
3、3,2. 平行截面面积为已知的立体的体积,上垂直于一定轴的各个截面面积,立体体积,如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体,的体积也可用定积分来计算.,那么,这个立体,表示过点x,且垂直于x轴的,截面面积,为x的已知连续函数.,采用元素法,体积元素,14,解,取坐标系如图,底圆方程,例,一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底,高,截面面积,立体体积,15,作一下垂直于y轴的截面是,截面长为,宽为,矩形,截面面积,可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,思考,16,解,取坐
4、标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,垂直于x轴的截面为等腰三角形,例,求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径 的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,17,二、平面曲线的弧长,设A、B是曲线弧上,在弧上,插入分点,并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目,无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长,的极限存在,则称此极限为曲线弧AB,的弧长.,1. 平面曲线弧长的概念,的两个端点,定理 光滑曲线弧是可求长.,18,弧长元素,弧长,2. 直角坐标情形,小切线段的长,以对应小切线段的长代替小线段的长,设曲线弧为,其中,有一阶连续导数.,取积分变量为x,任取小区间,19,因此, 所求弧长
5、为,解,曲线yf(x)(axb)的弧长：,20,例. 求连续曲线段,解:,的弧长.,21,曲线弧为,弧长,3. 参数方程情形,其中,具有连续导数.,22,解,星形线的参数方程为,对称性,第一象限部分的弧长,例,求星形线,的全长.,23,曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：,例 求摆线xa(qsinq), ya(1cosq)的一拱(02 )的长度.,解,于是所求弧长为,弧长元素为,24,曲线弧为,弧长,4. 极坐标情形,其中,具有连续导数.,25,解,26,例 求阿基米德螺线a (a0)相应于从0到2 一段的弧长.,解,于是所求弧长为,弧长元素为,曲线()()的弧长：,27,例,解,28,三、典
6、型例题选解,29,解,由对称性,有,由对称性,有,30,由对称性,有,31,例,解,32,33,例. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,34,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,35,例. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,36,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,37,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,以 x 为积分变量 , 则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,38,2. 试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积 :,提示:,方法 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,39,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,40,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：,选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,4.,若选 y 为积分变量, 则,
