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1、第三节 格林公式及其应用,一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积,一、 格林公式 平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部 分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连 通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区域.,例如 圆形区域： 上半平面：,都是单连通区域.,定理1 (格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数,注意: 格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,其中L是D的取正向的边界曲线，上式为格林公式.,证: 将格林公式分为两式,格林公式.,曲线积分,注意： 对复连通区域D应
2、用格林公式，公式右端的L应包括沿区域D的全部边界，且边界的方向对D来说都是正向.,格林公式,即：闭区域D的面积可用封闭曲线的曲线积分来表示.,例1 求椭圆,解:,例2 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：,证:,解:,解: 由已知可知此题有二种情况： (a)原点在D外 (b)原点在D内,(2) 原点在D内时,二、平面上曲线积分与路径无关的条件 1、 什么叫平面上曲线积分与路径无关,恒成立.,2、曲线积分与路径无关的结论,3、定理2,在G内恒成立.,证:先证充分性 因G为单连通区域，故闭曲线C所围成的区域D全部在G内.,由格林公式有：,再证必要性，用反证法: 假设沿G内任意闭曲线的,由格林公式与
3、二重积分性质，有：,注意：,定理2,格林公式,三、二元函数的全微分求积 1、 两个问题 (1) 函数,全微分；,2、定理3,在G内恒成立.,再证充分性 (1) 先确定u(x,y):,定理2,因曲线积分与路径无关,可取先从M0到M,再沿平行于x轴的直线段从M到N作为积分路径.,.(如图180 10-14),注意: 当曲线积分与路径无关时,为计算简便起见，可选择平行于坐标轴的直线段连成的折线为积分路线.,解：,(2) 求u(x,y) 取积分路线如图,(如图P183 10-17),例6 验证: 在整个xOy面内，xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.,解: (1) 验证,(2) 求u(x,y) 取积分路线如图,
