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1、第11章 级数,11.1 无穷级数的概念及基本性质 11.2 正项级数及其敛散性的判别法 11.3 任意项级数 11.4 函数项级数 11.5 幂级数的收敛半径 幂级数的性质 11.6 泰勒级数,11.7 幂级数的应用 11.8 复数项级数 欧拉公式 11.9 三角级数 欧拉-傅里叶公式 11.10 傅里叶级数 11.11 定义在任意区间上的函数的傅里叶级数 11.12 傅里叶级数的复数形式,它是圆内接正32n边形的面积，当n愈大，圆内接正32n边形的面积愈接近圆面积S，因此当n无限增大时圆内接正32n边形面积的极限值就是圆面积S，即,再以正十二边形的每条边为底边作顶点在圆周上的12个等腰三角
2、形，他们的面积记为a3，则a1+a2+ a3是圆内接正二十四边形的面积。它是圆面积S的比a1+a2较精确的近似值。,按照上述步骤继续n次，就得到和式,或 除了计算圆面积时需要讨论形如 的“和”之外，还可以举出大量的例子说明我们经常要研究形如式(1)的“和”。初等数学中的循环小数,与无限不循环小数,都是简单的例子。又譬如在泰勒公式中已经知道,由于 ，因此,可见计算e时，需要讨论形如式(1)的“和”，e就是 当n时的极限。,11.1.1 无穷级数的收敛与发散,设有数列 u1，u2，un， 则把它们依次相加得 u1+u2+un+ 这式子成为无穷级数(简称为级数)，简记为 即,以上设式中的每一项称为级
3、数的项；其中un称为级数的通项或一般项 设 S1=u1，S2=u1+u2，,其中前n项的和Sn称为级数的第n部分和，或简称为级数的部分和。如果部分和数列Sn的极限 存在且等于S，则称级数是收敛的，且收敛于S，并称S为级数的和，记作,如果极限 不存在，则称级数是发散的。,例1 讨论级数 的收敛性。 解：此级数的部分和为,从而 ，故 收敛，且,例2 设a0，讨论等比级数(或称几何级数) 的敛散性。 解：级数的部分和为,当|q|1时，由 知,当q= 1时，,当|q|1时，由 知 不存在；,当q=1时， ；,综上所述，当|q|1时，级数 收敛于和 ； 当|q|1时，级数 发散。,故 不存在。,例3 讨
4、论级数 的敛散性。 解： 两式相减得 故当q1时，,还可以用另一种方法求Sn(若把q视为变量)： 当q1时，,当|q|1时，因,和 ，故 ；,当q= 1时， 故,当|q|1时，,当q=1时， ，故 ；,综上所述，当|q|1时，级数 收敛，其和为 当|q|1时，级数 发散。,11.1.2 级数的基本性质 级数收敛的必要条件,由级数敛散性定义很容易证明以上的性质,3. 将级数增加有限项或删减有限项，不改变级数的敛散性。,4. 收敛级数具有可结合性，即收敛级数的项任意加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变,例4 当|q|1，a0时，等比级数(几何级数) 是发散的。 证：因为当a0时,不存在，,5. 级
5、数收敛的必要条件：若级数 收敛，则,总之，当|q|1时， ，级数 发散,故级数 发散,例5 讨论级数 的敛散性,解：级数的通项 ，由于,解：把调和级数按下列方式加括号,也就是从调和级数的第三项起，依次地2项、4项、 、2k1项、加括号。设此新级数为 则,例6 证明调和级数 是发散的,故 ，由性质5知 发散,又由性质4知调和级数 发散,11.2 正项级数及其敛散性的判别法,若级数 的通项满足un0，则称它为正项级数,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列Sn有上界。,11.2.1 比较判别法,定理2 设 和 均为正项级数，且 unvn(n=1,2,3,),1. 若 收敛，则 也收敛,
6、2. 若 发散，则 也发散,例1 用比较判别法证明调和级数 发散,证：取级数 ，由于部分和,而 ，故 发散,又因为当x0时，xln(1+x)，故,由定理2知 发散,例2 讨论p级数 的敛散性,解：(1) 当p1，由于 ，而 发散，,故 发散,(2) 当p1，依次地把级数的每1项、2项、4项、8项、依次加括号，得级数 它的各项不大于级数,的对应项。由于级数式(2)是公比为 的几何 级数，故由正项级数比较判别法知级数式(1)收敛， 因而级数 的部分和有上界，故级数 收敛,综上所述，p级数 当p1时收敛，p1时发散， 例如级数,是收敛的，级数 是发散的,例3 判别级数 的敛散性,解： 由于 发散，故
7、 也发散。又因,故 也发散,例4 设a0，讨论级数 的敛散性 解：,当a=1时，因 ，故已给级数发散,当0a1时，因 ，故已给级数发散,当a1时，因 ，而等比级数 收敛，,故由比较判别法知已给级数收敛 综上所述，当01时已给 级数收敛,例5 判别级数 的敛散性 解：容易证明,由于当 时，p级数 发散，故级数 发散,因而级数 也发散,定理3 若 和 均为正项级数(vn0)，且 l为常数或+，则,1. 当0l+时，则 与 有相同的敛散性；,2. 当l=0时，有 收敛，可得 收敛；,3. 当l=+时，由 发散可得 发散。,例6 判别级数 的敛散性 解：,方法一 由于 ，而 收敛，故 原级数收敛。,方
8、法二 由于 ，而 收敛，故 原级数收敛。,例7 讨论级数 的敛散性 解：,由于,而级数 收敛，故已给级数收敛,例8 设p0，讨论级数 的敛散性 解：,方法一 由于 ，故 与,敛散性相同，即已给级数当p1时收敛；而当p1时发散,方法二 1. 设p1，由于当 时，xsin x0，,故,而当p1时级数 收敛，故已给级数收敛,设0p1，由于当x0时，sin xx，故当n充分大时，有 ，故 而当0p1时级数 发散，故已给级数发散。,用比较判别法来确定正项级数 敛散性时，需要 选择一个适当的已知其敛散性的级数 来 加以比 较，但有些时候这种选择并不容易。为此我们介绍直 接利用级数本身项的结构来判定其敛散性
9、的两个常用 的判别法。其中最简单而又常用的是比值判别法(或称 达朗贝尔判别法)。,例9 设a0，判别级数 的敛散性,定理4 设 为正项级数，其中un0，且 ，则,1. 当0l1时，级数 收敛；,3. 当l=1时，不能确定级数 的敛散性。,2. 当1l+时，级数 发散；,解：级数通项,由于 故由比值判别法级数收敛,例10 设a0，b0，讨论级数 的敛散性,故若01时级数发 散；当b=1时级数为 ，由例4知级数发散。,例11 设a0，讨论级数 的敛散性,解： 级数通项,故当0e时级数发散；当a=e时 比值判别法失效，但此时由于 随n的增大而趋 于e，故,由此可知 ，故当a=e时已给级数发散,综上所
10、述，级数 当0ae时收敛；当ae时发散,因而,11.2.2 根值判别法,对于正项级数 ，若 ，或者 不存在 (非)时，则比值判别法失效，这时可以考虑用以下 的根值判别法(或称柯西判别法),定理5 设 为正项级数，且 ，则,1. 当0l1时，级数 收敛；,2. 当1l+时，级数 发散；,3. 当l=1时，不能确定级数 的敛散性。,例12 设a0，讨论 的敛散性,解：不难看出， 对此级数宜用根值法而不宜用比值法，通项,故当a1时，此级数收敛；当0a1，此级数发散；而 当a=1时，由 通项不趋于0，故此级 数发散,解：级数为 若用比值判别法，因 ，当n，,例13 讨论级数 的敛散性,，当n，,故 不
11、存在，因此比值判别法失效，现在用根值 判别法，因,故 ，由根值判别法知级数收敛,11.2.3 积分判别法,虽然比值判别法和根值判别法用起来很方便，但对有 些级数它们是失效的。下面讨论的柯西积分判别法可 作为它们的补充,定理6 设 为正项级数，其各项单项减少：,u1u2un若在1，+)上存在单调减少函数 f (x)，使得un=f (n)，则级数 与广义积分 有相同的敛散性,例14 讨论p级数 的敛散性(p0),解： 取 ，则f(x)满足定理6中的一切条件。由于,故当p1时，广义积分 ，收敛；当 01时收敛，当0p1时发散,例15 求极限 解：作级数 由于,故级数 收敛，由收敛级数的必要条 件知,
12、11.3 任意项级数,任意项级数是指级数的各项可以随意取正数、零或负数。 例如：,等都是任意项级数,11.3.1 交错级数及其莱布尼兹判别法,除了正项级数之外，任意项级数中最简单的情形是交 错级数。级数中各项正负相间，它的一般形式是 为了确定起见，只需讨论从正项开始的交错级数 关于这种级数，有如下的收敛性判断法，称为莱布尼 兹判别法,定理1 若交错级数 满足条件：,例1 判别级数 的敛散性,1. 各项绝对值单调减，即unun+1(n=1，2，)；,2. 通项趋于零，即 ，则此交错级数收敛，且其余和的绝对值小于un+1，即,解：所给级数为交错级数，它的通项 ，由于,且a0时，,依莱布尼兹判别法知
13、级数 收敛,例2 判别级数 的敛散性 解：,易见un+1un，但 ，因此这个交错级数是发散的,11.3.2 绝对收敛和条件收敛,若绝对值级数 发散，而级数 收敛，则称 为条件收敛。,下面要讨论任意项级数。先引进两个重要的概念 级数绝对收敛和条件收敛 设有任意项级数,把各项取绝对值所成的级数 称为它的绝对值级数。,若绝对值级数 收敛，则称级数 为绝对收敛；,定理2 如果 绝对收敛，则 必收敛,例3 下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？,(1) ；,(2) ；,(3),解：,(1) 因为 ，而级数 收敛，故对于任意 实数a，级数 收敛，因此级数 绝对 收敛,(2) 因为 (3) 因
14、为,故级数 收敛，因此级数 绝对收敛,而级数 发散，故 也发散，因此已给级数 不是绝对收敛,但是由于 故由交错级数的莱布尼兹判别法知，级数 条件收敛,定理3 若级数 绝对收敛，则任意改变其各项的次 序所得的新级数仍旧绝对收敛，且级数的和不变,11.4 函数项级数,设un(x)(n=1，2，3，)是定义在实数集合(一般为区 间)X上的函数序列，则称式子 u1(x)+u2(x)+un(x)+ 为函数项级数，简记为 对于数集X上任一点x0，对应着一个数项级数,如果数项级数 收敛，称x0为函数项级数 的一个收敛点，否则称x0为函数项级数 的发散 点。 的全体收敛点的集合称为它的收敛域,在收敛域上，级数 的和依赖于点x，因此函数 项级数的和是x的函数，并称它为级数 的和函 数，记作S(x)，即当x为收敛域上的点时， 如果用Sn(x)来记级数 的部分和函数(简称部分 和)：,则对于级数的收敛点x，有 用极限的N语言来描述就是：对于任意给定的正数 ，存在正整数N，当nN时，使|Sn(x)S(x)|，这 里的N既与有关，又与收敛域上的点x有关。用符号 表示为,当函数项级数 收敛时，把,称为函数项级数 的余和，显然在收敛域I的每 一点x，S(x)=Sn(x)+r
