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1、1,四、正弦级数、余弦级数,一般说来, 一个函数的傅里叶级数既含有正弦项, 又含有余弦项. 但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 一般地, 这些情况与函数的奇偶性有关.,1.奇、偶函数的傅里叶级数,2,3,证,奇函数,偶函数,5,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,6,和函数图象,7,8,解,所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续. 因此u(t)的傅立叶级数处处收敛于u(t).,9,10,11,2.函数展成正弦级数和余弦级数,12,（1）.奇延拓展开成为正弦级数,13,（2）.偶延拓展开成为余弦级数,14,解,(1)求正弦级数.,15,16,(2)求余
2、弦级数.,17,18,第八节,一般周期的函数的傅里叶级数,第十一章,19,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(z),变量代换,将F(z) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,20,设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为,(在 f (x) 的连续点处),其中,定理.,21,证明: 令, 则,令,则,所以,且它满足收敛,定理条件,将它展成傅里叶级数:,( 在 F(z) 的连续点处 ),变成,是以 2 为周期的周期函数 ,22,其中,令,( 在 f (x) 的 连续点处 ),证毕,23,说明:,其中,(在
3、 f (x) 的连续点处),如果 f (x) 为偶函数, 则有,(在 f (x) 的连续点处),其中,注: 无论哪种情况 ,在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数,收敛于,如果 f (x) 为奇函数, 则有,解,26,例2. 把,展开成,(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,27,(2) 将,作偶周期延拓,则有,28,说明: 此式对,也成立,由此还可导出,据此有,29,例3. 将函数,展成傅里叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z) 是奇函数, 故,则它满足收敛定,30,思考与练习,1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?,答: 易看出奇偶性及间断点,2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?,答: 用系数公式计算,如分母中出现因子nk,从而便于计算系数和写出,收敛域 .,必须单独计算.,31,作业: P251 6; 7 P256 1 (1) ; 2 (2) ;,
