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1、2020/7/29,1,二次曲面 北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也！化而为鸟，其名为鹏。鹏之背，不知其几千里。,2020/7/29,2,二次曲面,7.1,柱面,球面,锥面,旋转面,二次曲面,课堂练习,2020/7/29,3,在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0,表示空间曲面，而,则表示空间曲线.,本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方 程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状. 所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平 面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.,2020/7/29,5,球面的参数方程,1. 球
2、心在原点,P0,y,x,z,P,z,x,y,球心不在原点时,2020/7/29,6,曲面和曲线的参数方程,例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。,例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为 b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的 方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.241,2020/7/29,7,二、柱面,由一族平行直线形成的曲面叫做柱面。,T: 空间一条定曲线,C: 空间一条定直线,动直线L始终平行于直线C并沿着曲线T移动而形成 的轨迹。动直线L称为柱面的母线。,，称为柱面的准线。,，确定了柱面的方向。,注：柱面由准线T和定直线C的方向唯一
3、确定。 反之，柱面的准线不唯一。,2020/7/29,8,母线平行于z轴的柱面方程.,图1,因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:,C,求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。,2020/7/29,9,一般地,在空间直角坐标系中,方程 f(x , y)=0 (不含z), 表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线为,方程 g(x , z)=0 (不含y), 表示母线平行于y轴的柱面,它的一条准线为,方程 h(y , z)=0 (不含x), 表示母线平行于x轴的柱面,它的一条准线为,注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。 二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面,2020/7/29,10,
4、例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?,2020/7/29,11,例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为 的柱面方程。,2020/7/29,12,三、锥面,过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.,动直线L沿定曲线T移动，并且L移动时始终经过动点M0。L称为锥面的母线，T称为锥面的准线， M0称为锥面的顶点。,同理，锥面由准线顶点唯一决定，并且锥面的准线不唯一。,求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。,2020/7/29,13,锥面方程的求解,求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。,2020/7/29,14,例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为：,(c为常数), 求锥面
5、的方程 .,解：,设 P(x, y, z) 为锥面上任一点,母线OP交准线于点P1(x1, y1, z1), 则有,消去参数 x1, y1, z1 可得,z2 = c2(x2 + y2)。,锥面的参数方程：,2020/7/29,15,四、旋转面,圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直 线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲线L绕一 条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. 一般 考虑平面曲线绕坐标轴旋转而成的曲面。,点P位于点P1绕z轴旋转所得的圆周上,2020/7/29,16,例：求 yoz 面上的直线 z = ycot绕z轴旋转一周所得锥面的方程。,求旋转面方程的法则：绕哪个轴
6、旋转，就把母线方程中的另外一个自变量换掉。,2020/7/29,17,例：求面yoz上的双曲线,分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,2020/7/29,18,五、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、圆锥面等.下面利用“截痕法”再研究几种特殊的二次曲面.,1、椭球面,如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为,2020/7/29,19,(1) 单叶双曲面,2、双曲面,（2）双叶双曲面,y,2020/7/29,20,椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一 的对称中心，因此又称它们为有心二次曲面.,3、抛物面（无心二次曲面）,（1）椭圆抛物面,（2）双曲抛物面（马鞍面）,2020/7/29,21,1.方程,表示怎样的曲线？,课堂练习：,2.指出下列曲面的名称。,
