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1、全微分的定义,定义: 设函数 z = f ( x, y )在点( x , y )的某邻域内有定义，如果函数在点( x , y ) 的,可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,全增量,偏导数连续,(1) 函数可微,函数连续,偏导数存在,(2) 函数可微,多元复合函数的求导法则,1、一元函数与多元函数复合的情形,2、多元函数与多元函数复合的情形,3、其他情形,1、一元函数与多元函数复合的情形,“分道相加，连线相乘”,( 全导数公式 ),（1）,（2）,
2、类似地再推广，设,都在点,具有对,和,的偏导数，函数,在对应点,具有连续偏导数，则复合函数,在点,的两个偏导数都存,在，并且有,例1. 设,解:,例2. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,3、其他情形,定理. 若函数,处有连续偏导,可导,则复合函数,的两个偏导数都存在，且有,在点,具有对,和,的偏导数，,函数,在点,在情形3中，还会遇到这样的情形：复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量.,例如：设函数,则复合函数,例3.,解:,例4. 设,求全导数,解:,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,若 u , v就是自变量,则,的全微分为,例1 .,例 6.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是中间变量,（1）“分道相加，连线相乘”,（2）设复合函数的因变量为 ，,中间变量为,，自变量为 ，则,如果有一元函数，则将 改成,
