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1、多面體與歐拉公式,導師：文耀光博士,問題：以下哪些是多面體？哪些是正多面體呢？,多面體與正多面體的定義,多面體：由若干個多邊形圍成的封閉立體圖形。 正多面體：每個面都有相同邊數的正多邊形，而每個頂點都有相同棱數的凸多面體。,歐拉公式,對簡單多面體而言，其頂點數(V)、 面數(F)及棱數(E)滿足以下公式： V + F E = 2,例子：若一凸三十二面體的頂點數是60，求它的棱數。,解： V=60, F=32 代入 V+F-E=2，得： E = V+F-2 = 60+32-2 = 90 該多面體的棱數是90。,例子：若一凸多面體的面全是三角形，證明 F=2V - 4。,解：由於每塊面有3條邊，而
2、每條邊是兩 塊相鄰面所共有，所以： E = 3F/2 .(*) 引用歐拉公式 V+F-E=2，得： 2V+2F-2E=4 把(*)代入，得： 2V+2F3F=4 2V- F =4 F= 2V 4。,m的意義,m代表一個正多面體每塊面上的邊數,正六面體,m=4,正四面體,m=3,n的意義,n代表一個正多面體每個頂點上的邊數,正六面體,n=3,正八面體,n=4,想想看：mF = ?,m代表一個正多面體每塊面上的邊數,正六面體,m=4,正八面體,m=3,F=6,F=8,mF=24,=2E,E=12,E=12,mF=24,=2E,想想看：nV = ?,n代表一個正多面體每個頂點上的邊數,正六面體,n=3,正八面體,n=4,V=8,V=6,nV=24,=2E,E=12,E=12,nV=24,=2E,一般而言，對任意正多面體，有以下結果： mF = 2E 及 nV = 2E,一個幾何定理,定理：正多面體只有五種,證明：正多面體只有五種,假設m代表一正多面體每塊面上的邊數 n代表它的每個頂點上的邊數 考慮以下公式：,(1),(2),將(1)、(2)式代入歐拉公式，得：,(3),m-2,n-2,1,1,1,2,1,3,2,1,3,1,m,n,3,3,3,4,3,5,3,3,4,5,把不同的m, n值代回(1)、(2)、(3)，得：,結論,正多面體只有以下五種：,
