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1、一、 曲边梯形的面积 S,6.1 实例,曲边梯形由连续曲线,曲边梯形面积近似等于矩形面积。,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。,（四个小矩形）,（九个小矩形）,为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形面积的和作曲边梯形面积的近似值。,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,播放,曲边梯形如图，,于是曲边梯形面积近似为,得到曲边梯形面积精确值,作小矩形，,小矩形面积为,二、 变速直线运动的距离,把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值，然后通过对时间的无限细分求得距离的精确值。,设某物体作直线运
2、动，已知速度,，求物体在这段,是时间间隔,上的连续函数，且,时间内所移动的距离。,思路：,（1）分割,（2）求和,（3）令,距离的精确值,是时间,上某时刻，以,作为时间小段,上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值,取极限得到,两个问题背景不同，但都归结为求同一结构总和的极限。,有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。,6.2 定积分的定义,一、定义:,在各小区间上任取一点,记为：,若不论对 a , b 怎样分割、,则称 I 为函数,积分上限,积分下限,当函数,在区间,上的定积分存在时，,称,在区间,上可积。,要点：,(2) 积分值仅与被积函数和积分区间有关，与积分变量用,那个字母表示无
3、关,(1) 当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。,(3) 上述定义中分割是从下限点至上限点的，,假若a b，,于是对于积分,特别地有,定理1,定理2,二、定积分存在定理,函数,在区间,上连续，,则,一定在区间,上可积。,函数,在区间,上有界，,且在该区间上只有有限个间断点，,则,一定在区间,上可积。,证：,据对数性质,例1、 设函数,在区间,上连续，且取正值,故,在,上连续，且取正值，,所以,上有意义且取可积，,在,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的负值,三、定积分的几何意义,一般地，,x,四、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,取极限,思考题,将和式极限表示成定
4、积分,其中,答案,练 习 题 六（1）,4、据定积分的几何意义,答案,思考题解答,练习题六（1）答案,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分
5、割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,6.3 定积分的基本性质,若函数 f(x) 在区间a,b上可积，由定义已知有基
6、本性质,另外还有,证：,k 为常数,常因数可提出积分号外,证：,此性质可以推广到有限项代数和的情况,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,（3）（定积分的可加性）,证：,则有,则有,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,（6）（定积分比较定理）,证：,则有,证,性质4,性质5,解,令,于是,性质5的推论：,证,（1）,证,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,解,解,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,定积分的性质,（注意估值性质、
7、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。,（四个小矩形）,（九个小矩形）,为了得到近似程度高一些的近似值，用多个矩形面积的和作曲边梯形面积的近似值。,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,播放,曲边梯形如图，,于是曲边梯形面积近似为,得到曲边梯形面积精确值,作小矩形，,小矩形面积为,二、 变速直线运动的距离,把整段时间分割成若干小段，小段上速度看作不变的，求出各小段上移动的距离相加，便得到距离的近似值，然后通过对时间
8、的无限细分求得距离的精确值。,设某物体作直线运动，已知速度,，求物体在这段,是时间间隔,上的连续函数，且,时间内所移动的距离。,思路：,（1）分割,（2）求和,（3）令,距离的精确值,是时间,上某时刻，以,作为时间小段,上不变的速度，则在这一时间段上移动的距离值,取极限得到,两个问题背景不同，但都归结为求同一结构总和的极限。,有相当多的实际问题的解决也是归结于这类极限。,6.2 定积分的定义,一、定义:,在各小区间上任取一点,记为：,若不论对 a , b 怎样分割、,则称 I 为函数,积分上限,积分下限,当函数,在区间,上的定积分存在时，,称,在区间,上可积。,要点：,(2) 积分值仅与被积函
9、数和积分区间有关，与积分变量用,那个字母表示无关,(1) 当积分上下限取为确定的常数时，定积分是一个常数。,(3) 上述定义中分割是从下限点至上限点的，,假若a b，,于是对于积分,特别地有,定理1,定理2,二、定积分存在定理,函数,在区间,上连续，,则,一定在区间,上可积。,函数,在区间,上有界，,且在该区间上只有有限个间断点，,则,一定在区间,上可积。,证：,据对数性质,例1、 设函数,在区间,上连续，且取正值,故,在,上连续，且取正值，,所以,上有意义且取可积，,在,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的负值,三、定积分的几何意义,一般地，,x,四、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思
10、想和方法：,取极限,思考题,将和式极限表示成定积分,其中,答案,练 习 题 六（1）,4、据定积分的几何意义,答案,思考题解答,练习题六（1）答案,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。,
