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1、1,第四节,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,初等函数的幂级数展开,二、函数展开成幂级数,2,两类问题:,在收敛域内,和函数,3,一、泰勒 ( Taylor ) 级数,其中,( 在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项 .,则在,若函数,的某邻域内具有 n + 1 阶导数,此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :,5,定理1 .,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2：,若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是,唯一的 , 且与它的
2、麦克劳林级数相同.,6,二、函数展开成幂级数,1. 直接展开法,由泰勒级数理论可知,求函数及其各阶导数在 x0 = 0 处的值 ;,写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;,判别在收敛区间(R, R) 内,是否为,骤如下 :,展开方法,直接展开法, 利用泰勒公式,间接展开法, 利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,7,例1. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,故,( 在0与x 之间),故得级数,8,类似可推出:,例2. 将,展开成 x 的幂级数.,9,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当
3、 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,例3. 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,10,对应,的二项展开式分别为,11,2. 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,12,例5. 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,13,例6：,14,例7. 将,展成 x1 的幂级数.,解:,15,内容小结,1. 函数的幂级数展开法,(1) 直接展开法, 利用泰勒公式 ;,(2) 间接展开法, 利用幂级数的性质及已知展开,式的函数 .,16,2. 常用函数的幂级数展开式,17,当 m = 1 时,
