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1、无穷小的比较 等价无穷小代换原理,第八节 无穷小的比较,一、 无穷小的比较,无穷小量是极限为0的函数, 但不同的函数趋于0的“速度”却不一定相同.,y=2x,y=x,为了反映在自变量的 同一变化过程中, 两个无穷小的趋 近快慢, 我们用这两个无穷小量商的极限来描述, 即称为阶.,y=x2,o,x,y,例如,例如,上例说明, 在自变量的 同一变化过程中, 两个无穷小量商的极限不同, 可以反映了两个无穷小量趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,例如，,解,例2,所以, 当x0时, 与 是同阶无穷小.,所以当 x0时, ln(1+x) x.,练一练,练一练,当 x0 时下列函数哪个是其
2、他三个的高阶无穷小?,C,二. 等价无穷小代换原理,证 必要性,设,因此,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,于是,则,定理2 (等价代换原理)设 为同一极限过程中,无穷小量且 , ,若 存在,证,根据极限运算法则,常用等价无穷小:,解,则,例3,求下列函数的极限：,解,练一练,解,所以,解,运用等价无穷小的代换, 有,解法一,练一练,解法二,求,解,练一练,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积, 则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换, 而不会改变原式的极限,例4,解,解,练一练,解,解,解,所以,例5,解,解,错,注 只可对函数的因子作等价无穷小代换，不能滥用等价 无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,解,练一练,解,练一练,
