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1、第八讲 曲线积分与曲面积分,三部分内容 1. 空间积分曲线的参数化 2. 曲线积分对称性、格林公式 3. 曲面积分的对称性、高斯公式,两类曲线积分计算的公式为,一、空间曲线的参数化,若积分曲线 的参数方程,1.设积分曲线 ,从中消去某个自 变量,例如 ，得到 在xoy平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知的参数方程将它们表示成参数方程 然后将它们代入到 ，解出 由此得到：如下 的参数方程：,例1 将曲线 ，(其中 ) 用参数方程表示。,2.若 的方程组中含有园、椭圆或球的方程时，可充分利用园、椭圆或球的大家所熟知的 园的参数方程 x=rcost，y=rsint， 椭圆参数方程
2、 x=acost， y=bsint， 球坐标 先将其参数化，再代入 的另一方程，求出另一变量的参数表达式。,例如：将球面上的三角形曲线参数化,利用球坐标：,例2 将曲线 ，(其中 ) 用参数方程表示。,例3 将曲线 (其中 ) 用参数方程表示。,例3 将曲线 (其中 ) 用参数方程表示。,故,举一反三练习 1、将曲线 用参数方程表示。,（1）,（2）,2、如何将以下的空间曲线参数化,并计算它的弧长.,启发性推导：,从中解出x,y后, 即可得到以z为参数的参数方程.,令,即得以z为参数的L2的参数方程.,以y为参数,得,(1),(2),(3),1. 注意到曲线积分的被积函数 是定义在积分曲线上的
3、，因此它的自变量应满足积分曲线方程， 所以计算曲线积分之前，首先要用积分曲线方程 去化简被积函数 。,二、曲线积分的计算,（1）积分曲线 关于x轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ； （2）积分曲线 关于y轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；,2.积分曲线的对称性,（3）积分曲线 关于原点对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ； （4）曲线 关于直线 对称(或 对称)，是指 (或 ), 换句话说， 互为对称点 ， 互 为对称点。,第一类曲线积分对称性的应用 若曲线积分 的被积函数 在任意的对称 点处的函数值互为相反数，则 ； 在任意的对称点处函数值都相等，则 其中 是相应对称积
4、分曲线的一半。,第二类曲线积分对称性的应用 当曲线积分关于x轴对称,且被积函数 在任意的对称点 处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等 则,第二类曲线积分对称性的应用 当曲线积分关于y轴对称,且被积函数 在任意的对称点 处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等 则,第二类曲线积分对称性的应用 当曲线积分关于y=x对称，即x换作y，y换作x，L方程不 变，则 当空间曲线积分具有轮换对称性，即x换作y，y换作Z， Z 换作x, L方程不变，则,例1 计算 (1) ,其中 ; (2) 其中 ,周长为a。,解：(1)由于L关于y轴对称，被积函数x在对 称点处的函数值互为相反数
5、，所以 。 由于L关于直线 y=x对称，函数 在对称 点处互为相反数,所以 . 即 .从而有,由于L的参数方程为 所以,(2),由于L关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互 为相反数，所以,例2 设 ，求对弧长 的曲线积分 ，其中 为正方形 的边界。 解：如图 ,由于折线 ABEFG 对关于直线 y=-x对称,且在对称 点上有 ,所以,原式,例3 计算 其中 。,解：由于在 上y=x,所以,由例1 的参数方程为 则,所以,定理,其中是在xoy平面上的投影曲线，其方向与的方向一致。,一类特殊的空间曲线积分的计算方法,例4,解:由,（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭
6、曲线，再应用格林公式；,3. 格林公式的应用,（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在 奇点外成立 等式的条件下，有 成立，其中L是围绕奇点且同L具有相向方向的简单闭曲线，通常是园或椭圆等。,例1 设 ，记 为它 的正向边界曲线。证明：,解：由格林公式得,类似可证,其中 是由于 是关于直线 y=x对称.,由第二类曲线积分的对称性也可证明。,例2 计算 ，其中 是以(1,0)为中心 R(R1)为半径的正向圆周。,由于,所以,例3 已知关于坐标的曲线积分 (常数)， 其中函数 可导，且 是围绕(0,0)的 任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数 的表 达式；（2）A的值。,解：（1）为了应
7、用格林公式求出 ，首先证明对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭 曲线C，都有 . 因为 未知，所以原点有可能是被积函数的不连续点，故,由此可知对 有： 成立，整理即得,解此微分方程得 .,由于,所以,C=1，所求的 .,(2)取L1为正向圆周,则,（1）柱面 被曲面 截下部分的面积。 计算公式为 ，其中 在xoy面上的投影曲线.,4利用曲线积分来计算曲面的面积,例1 求柱面 位于球面 之内的侧面 的面积 。,解：由于 关于三个坐标面都对称,所以 (S0是S位于第一卦限部分的面积)。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道,所以,举一反三练习 计算圆柱面 被球面 截下的那部分的面积。,（2）由坐标面上
8、的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转 曲面的面积。 例如yoz平面上的曲线 绕y轴 旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为,例2 设 ， ， 求 的表面位于 内部分的 的面积。,解： 的表面位于 内部分的曲面 ,可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面， 其中 ,所以,三、曲面积分的计算,（1）曲面 关于xoy平面对称，是指若 则它关于xoy平面的对称点 ； （2）曲面 关于原点对称，是指 则它的对称点 ； (3) 曲面 关于平面 对称，是指 则它的对称点 ；,1. 第一类曲面积分 的对称性,若被积函数 的在对称点处的函数值互为相反 数，则 ； 在对称点处函数值相等，则 其中 是相应对称
9、积分曲面的一半。 与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数， 以达到化简曲面积分计算的目的。,例1 求下列曲面积分 （1） ， 其中 ； （2） ， 其中 .,解：(1),由于 关于平面 z=R 对称,且函数 z-R在对称点处的值互为相反数,故,解：(2),故,（1）设曲面 关于xoy平面对称，若被积函数 在对称点处的函数值互为相反数，则 ； 在对称点处函数值相等，则 ， 其中 是相应对称积分曲面的一半。,2. 第二类曲面积分 的对称性及高斯公式,的对称性类似。,若x与y互换， 的方程及侧不变，则 若x与z互换， 的方程及侧不变，则,（2）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 ,使得
10、组成闭曲面(所围成的闭区域为 )，于是高斯公式为,（3）当 是外侧闭曲面， 是它所围的闭区域， 在 的内部 有不连续点 时，可以作位于 内部的外侧闭曲面 ,将点 包围起来，这个闭曲面 常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为,当在 上除点 外处处有 时，,例2 其中 是上半椭球面 的外侧。,解：,由于x与y互换， 的方程及侧不变，且 关于 yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值 互为相反数，所以,其中 是 的 部分，前侧， 是 在yoz 平面上的投影.,故原式,其中 是椭球 的体积.,例3. 计算曲面积分 其中 是球面 的外侧。,解：由于 关于zox平面对称,函数 在对称点 处的值相等，所以 。当x与z互换时， 的方程及侧不变，所以,其中 是 的 的部分,且,在对称点处的值互为相反数，所以有,例4 计算 其中 是柱面 及两平面 所围立体 表面的外侧。,解： 是外侧曲面，但原点在 内部， 都不连续(没定义),从而不能运用高斯公式.,又 关于xoy平面对称， 在对称点处的 值相等,所以,于是,其中 由积分性质，有,又 关于yoz平面对称， 在对称点处的 值互为相反,所以,其中 是 的 的部分,前侧, 是 在,yoz平面的投影。,例5 求曲面积分 ， 其中 是上半球 的上侧。,解：令 ，则 成为上半球面 的上侧。,
