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1、第6章 图形变换,之一一般变换,2,1.图形变换的基本描述 2.图形变换的几何化表示 3.投影与投影变换 6.透视变换 5.投射变换 6.总结,3,6.1 图形变换的基本描述,1.概述 2.齐次坐标 3.齐次坐标变换距阵 4.矩阵级联 5.图形变换的现状,5,6.1.1概述,所有的变换均基于点的变换。例如，一条线段的变换只要考虑它的两个端点的变换就行了 采用向量、矩阵和齐次坐标的形式来描述图形的变换十分方便。 一个变换是一个单一的数学实体，能够用一个单一的名或符号标识。 两个变换能够被结合而产生一个具有二者功效的单一变换。例如变换T是平移，而变换R是旋转，则变换的结合允许决定一个变换A=TR，
2、其功效是先平移然后旋转变换。,6,为了能用矩阵的形式统一描述图形变换，在计算机图形学中常采用齐次坐标的形式来描述空间的点。 在n维空间中的一个问题，在n+1维空间中相应地也有一个问题，而在n+1维空间中却常常比n维空间中较易获得结果。 二维点(x,y)的齐次表示是(hx,hy,h)，这里h是任何一个非零因子，有时叫做比例因子。 齐次点(a,b,c)被投射回复到二维时简单地就是(a/c,b/c),由比例因子c去除。,6.1.2齐次坐标,7,在计算机中处理一个三维空间的“无穷远点”是困难的，但是可以容易地处理一个四维齐次空间的解析点，例如可以用向量： （1 0 0 0）表示x轴方向无穷远点 （0
3、1 0 0）表示y轴方向无穷远点 （0 0 1 0）表示z轴方向无穷远点 （0 0 0 1）表示坐标原点 这4个向量将构成四维齐次空间的单位矩阵,6.1.2 齐次坐标,8,6.1.3 齐次坐标变换距阵,透视变换,比例变换,旋转、错切等,平移变换,齐次变换矩阵提供一个三维空间中包括平移、旋转、透视、投影、反射、错切和比例等变换在内的统一表达式，使得物体的变换可在统一的矩阵形式下进行。,9,6.1.4 矩阵级联,一个变换是一个单一的数学实体 矩阵描述和标识。 两个变换的结合用矩阵的级联而产生一个具有两者功效的单一变换。 例如变换T是平移，而变换R是旋转，则变换的结合允许决定一个变换A=TR，其功效
4、是先平移然后旋转变换。,10,6.1.5图形变换的现状,11,6.2 图形变换的几何化表示,1.几何化表示的基本理论 2.图形变换的几何表示 3.图形变换几何表示的实施 4.图形变换几何表示的应用 5.图形变换几何表示与基本几何,12,6.2.1基本理论仿射变换,仿射变换（Affine transformation），一种线性变换 “线性”(linearity)。线性是仿射变换下的不變性 （直线变换后还是直线）。 “关联性(incidence)是不变性)。 （共线三点間的距離的分比不变，共线三点間距離的分比是不变量， 平行线还是平行线）。 仿射变换可以通过一系列原子变换的复合来实现： 平移（T
5、ranslation）、缩放（Scale） 翻转（Flip）、旋转（Rotation） 剪切（Shear）等。,13,6.2.1基本理论仿射变换,仿射变换（二维线性变换）的最一般形式为： u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 令 u=0 和v=0 即可得到两条直线 L1：a1x+b1y+c1=0 L2：a2x+b2y+c2=0,14,6.2.1基本理论基本几何,直线（直线段/向量）由其规范化的标准式方程：ax+by+c=0 定义，其中a2+b2=1 直线的方向选取这样一个方向：当人沿着这个方向行走时，他的左手方向为负区域(内部)，右手方向为正区域(外部)。,15,6.2.2 图形
6、变换的几何化表示,由于平面上任两条相交有向直线均可构成新的坐标系统UV，这样 u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 又可视为将坐标轴UV上的点全部相应地变换到坐标轴X和Y上,16,6.2.2 图形变换的几何化表示,这两个坐标系间的坐标变换公式可由直线方程系数构成的齐次变换矩阵形式表出：,于是，可将 直线L1设为V轴 直线L2设为U轴 构成新的坐标系。,17,6.2.2图形变换的几何化表示三维,若将上述结果推广到三维形式，则有： x*=a1x+b1y+c1z+d1 y*=a2x+b2y+c2z+d2 z*=a3x+b3y+c3z+d3 它将在原坐标系下的三个平面： P1：a1x+b
7、1y+c1z+d1=0 P2：a2x+b2y+c2z+d2=0 P3：a3x+b3y+c3z+d3=0 变换到原坐标系所在的3个平面上。 这3个平面构成的新坐标系。,18,6.2.2图形变换的几何化表示三维,矩阵形式为 ： 当且仅当： a1a2+b1b2+c1c2=0 a1a3+b1b3+c1c3=0 a2a3+b2b3+c2c3=0 时，新坐标系统仍为直角坐标系。,19,6.2.2图形变换的几何化表示结论,平面上任意2条相交（不共线）的向量构成一个新坐标系，新旧坐标系的坐标变换可由两条相交向量在原坐标系下的直线方程系数标出。,几何变换,它统一描述平移、旋转、剪切、对称和比例等变换。 空间3个
8、任意相交的（不共面）平面构成一个新坐标系,两者的坐标变换可由3个相交平面在原坐标系下的平面方程系数标出。,20,6.2.3图形变换几何化表示的实施,直线L1（设为V轴）的方向按正常的直线方向选取：当人沿着这个方向行走时，他的左手方向为负区域。 直线L2（设为U轴）的方向由直线L1绕原点（两条直线的交点）顺时针方向旋转得到（一般情况下旋转角度90）。,21,6.2.3 实施直线方程建立,建立直线程序：过两个已知点P1P2建立直线，使直线的右侧为正，左侧为负。 int lpp(x1,y1,x2,y2,*a,*b,*c) 输入： float x1,y1,x2,y2 /直线起点，终点坐标 输出： fl
9、oat *a,*b,*c /所求直线的法线式方程系数 （a2+b2=1） 返回值： 1 正确返回 0 P1=P2，(a,b,c) 值无效,22,6.2.3 实施直线方程建立原理,过P1和P2两点的直线方程是： (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 令： a= (y2-y1)/D b= - (x2-x1)/Dc= - (ax1+by1) 若两点连线与X轴的夹角为，则有： a=sin，b= -cos，且a2+b21 过P1P2两点的直线方程可记为： ax+by+c=0或-(ax+by+c)=0 为保证向量P1P2的左侧为负区域，需要在上述两式中选取一式。,23,6.2.3 实
10、施直线方程建立原理,构造一点位于向量P1P2左侧的点P(xp,yp) ：由P2绕P1逆时针旋转90得到，有 xpx1+Dcos(+90)x1-Dsin= x1-Da ypy1+Dsin(+90)y1+Dcos=y1-Db 点P(xp,yp )到直线的距离dp分别为： dp=a(x1-Da)+b(y1-Db)+c=(a x1+b y1+c)-D(a2+b2) = 0 - D1= -D 0 显然，为了保证直线的左侧为负，直线方程必须选取 ：ax+by+c=0,24,6.2.3 实施定义另一种直线,建立点斜式直线方程： 过一给定点P(xp,yp)且与X轴的夹角为的直线，它的左侧为负区域。 int l
11、pax(float xp,float yp,float alpha, float *a, float *b, float *c),25,6.2.4 应用之一坐标系的旋转变换,设通过坐标原点的两条正交直线与X轴的夹角分别为和(+90)，以前一条为X*轴，后一条为Y*轴（注意X*的角度）： lpax(0.0,0.0, alpha+HalfPI, /X*,26,6.2.4应用之二一向量为U轴，其中垂线为V轴,以向量P1P2为U轴，它的中垂线为V轴的右手坐标系变换矩阵 由点P2向P1作直线L1为U轴； lpp(x2,y2,x1,y1,27,6.2.4 应用之三剪切变换变换矩阵,y：lpax(0.0,0
12、.0, HalfPI+alphaY,28,6.2.4 应用之四绕任意轴的三维旋转变换,绕Y轴旋转角的标准旋转变换矩阵为： Ry = 三维空间中绕任意轴的旋转变换可由下列三步达到： 先平移、再2次绕新坐标轴旋转等3步建立以该任意轴为Y轴的新坐标系； 在新坐标系下执行绕Y轴旋转角的标准绕轴旋转变换； 将该结果经过相对于第1步逆序的3次逆变换得到初始坐标轴下的变换结果。 整个操作将由7个（不考虑平移时5个）矩阵相乘得到。,29,6.2.4 应用之四绕任意轴的三维旋转变换,Step1：将坐标系OXYZ平移（X0Y0Z0）形成新坐标系P0X1Y1Z1，其坐标系变换为： B01 =,30,6.2.4 应用
13、之四绕任意轴的三维旋转变换,Step2：将将坐标系P0X1Y1Z1绕Y1旋转y角形成新坐标系P0X2Y2Z2。其坐标系变阵为： B12 =,31,6.2.4 应用之四绕任意轴的三维旋转变换,Step3：将坐标系P0X2Y2Z2绕X2轴旋转X角，形成新坐标系P0X3Y3Z3，其坐标系变换阵为： B23 =,32,6.2.4 应用之四绕任意轴的三维旋转变换,33,6.2.4 应用之四绕任意轴的三维旋转变换,34,6.2.4 应用之四绕任意轴三维旋转变换几何化表示,1) 构筑向量P1P2的单位向量(a1，b1，c1) a1=(x2-x1)/D，b1 =(y2-y1)/D，c1=(z2-z1)/D D
14、= 2)构筑与P1P2垂直的单位向量(a2，b2，c2) a2= ，b2= ，c2=0 3)构筑第三个单位向量(a3，b3，c3) (a3，b3，c3) (a1，b1，c1)(a2，b2，c2),35,绕任意轴P1P2旋转的线性变换矩阵 R= Txyz_x*y*z*RxT-1xyz_x*y*z* = 其中： d1=-(a1x1+b1y+c1z1)D1=-(a1d1+a2d2+a3d3) d2=-(a2x1+b2y1+0z2) D2=-(b1d1+b2d2+b3d3) d3=-(a3x1+b3y1+c3z1) D3=-(c1d1 +c3d3) 绕任意轴的旋转变换由7个（不包含平移时则为5个）矩阵
15、相乘减少到3个矩阵相乘 。,6.2.4 应用之四绕任意轴三维旋转变换几何化表示,36,6.2.5图形变换几何化表示与基本几何,用构成坐标系的向量的方程系数统一表示两坐标系间的齐次坐标交换矩阵元素，而不理会“旋转变换的角度、平移变换的增量”等等变换参数的特别涵义。 将图形变换与基本几何有机地联系在一起，使图形变换与基本几何的定义与求解函数统一。 便于记忆、便于教学、便于应用、便于软件系统的统一编制，提高系统的稳定性。 实际应用中，只要用有向直线（平面）求解系列函数即可构筑图形变换齐次矩阵的元素 。,37,6.3 投影与投影变换,1.投影变换与深度坐标 现状 讨论 建议 2.投影示意图的讨论 典型
16、的正投影错误图示 错误的透视投影示意图 正确图示 图示原理,38,6.3.1投影变换与深度坐标现状,T斜等测 ,前2个矩阵是三维空间内的变换 此变换必须有深度坐标。,第3个矩阵用作投影变换系 三维到二维的变换,T斜等测定义为轴测投影变换矩 阵,39,6.3.1投影变换与深度坐标现状,投影变换的目的是显示图形，可以不考虑第三维（深度）坐标，因此几乎所有已出版的此类书籍均采用了以下投影变换矩阵。 但投影变换往往和三维图形处理（例如隐藏线消除等）联系在一起，而这些图形处理必须有完整的深度信息。,40,6.3.1投影变换与深度坐标讨论,三维观测流水线的处理过程均须特别注意投影要放在隐藏线消除的处理之后，即深度信息必须在投影前利用完毕，投影后不能再用。 其实际处理过程是： 先实行“三维空间到自身的变换”（这个变换必须有深度坐标） 图形处理（例如隐藏线消除） 实行“从三维到二维的变换”，即无深度的“投影变换” 显示。,41,6.3.1投影变换与深度坐标讨论,如果使用“轴测投影变换矩阵”或“透
