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1、7/29/2020 2:12 AM,2.5 极限存在准则和两个重要极限,1. 极限存在的准则,2. 两个重要极限,7/29/2020 2:12 AM,1. 极限存在的准则,【定理 】（准则又称夹逼准则）,证因为,所以,从某一时刻以后，,恒成立，,第2章 极限与连续,若在某一变化过程中，,系，,三个变量总有关,且，,则,下列两个不等式,即,7/29/2020 2:12 AM,所以,也就是,证毕。,例1证明,证当时，,由,再根据准则1，得,证毕。,第2章 极限与连续,即,又由,得,7/29/2020 2:12 AM,例3求,解利用夹逼准则,且,第2章 极限与连续,所以,7/29/2020 2:12
2、 AM,【定义】单调数列,设数列,若对如何正整数，,称数列为单调增加数列；,若对如何正整数，,称数列为单调减少数列。,第2章 极限与连续,恒有,恒有,单调增加数列,单调减少数列,单调,数列,7/29/2020 2:12 AM,【定理】（准则2）单调有界数列必有,【定义】有界数列,若存在两个常数和，,例数列是单调增加的数列，,且，,第2章 极限与连续,意正整数，,为有界数列。,使对任,恒有,则称数列,极限。（证明略）,则此数列有极限，,7/29/2020 2:12 AM,几何解释,说明在准则2中,第2章 极限与连续,对单调减少数列，只要求有下界即可。,对单调增加数列，只要求有上界即可；,7/29
3、/2020 2:12 AM,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,2. 两个重要极限,证当圆心角时，,AOB 的面积,圆扇形AOB的面积,AOD的面积,即,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,证毕。,得到,例4计算,解,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,例5计算,解,例6计算,解,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,证先证数列的情况，,第2章 极限与连续,利用二项式定理,7/29/2020 2:12 AM,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,比较可知,又,根据准则 2 可知数列有极限。,第2章
4、极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,记此极限为 e ，,e 为无理数，其值为,再证,当时，,第2章 极限与连续,即,设,7/29/2020 2:12 AM,而,故,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,故,当时，,综合两式得,第2章 极限与连续,令,则,7/29/2020 2:12 AM,若在极限中，,得极限的另一种形式,第2章 极限与连续,令,这种数学模型在实际中非常有用，,“银行计算复利问题”。,例如,设本金为，,利率为，,期数为，,如果每期结算一次，,则本利和为,7/29/2020 2:12 AM,例7计算,解,第2章 极限与连续,如果每期结算次，,期本利和
5、为,若立即产生立即结算，,即。,7/29/2020 2:12 AM,例8计算,解,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,内容小结,2.两个重要极限（重要的是形式）,1.极限存在的准则,夹逼准则,单调有界数列必有极限,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,备用题,1.填空题,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,2.填空题,（2006）,解,（2005）,解,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,3.计算,解,因为,故,第2章 极限与连续,和差化积公式,7/29/2020 2:12 AM,4.证明,证利用夹逼准则,且,所以,证毕,第2章 极限与连续,7/29/2020 2:12 AM,5.设,求,解利用极限存在的准则,所以数列单调递减有下界，,第2章 极限与连续,且,故极限存在。,7/29/2020 2:12 AM,故,第2章 极限与连续,则由递推公式有,设,
